Распределение
В качестве рутинного упражнения я пытаюсь найти распределение X2+Y2−−−−−−−√X2+Y2\sqrt{X^2+Y^2} где XXXиYYY- независимыеU(0,1)U(0,1) U(0,1)случайные величины. Плотность соединения (X,Y)(X,Y)(X,Y) равна fX,Y(x,y)=10<x,y<1fX,Y(x,y)=10<x,y<1f_{X,Y}(x,y)=\mathbf 1_{0\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right), так какcosθcosθ\cos\thetaуменьшается наθ∈[0,π2]θ∈[0,π2]\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]; иzsinθ<1⟹θ<sin−1(1z)zsinθ<1⟹θ<sin−1(1z)z\sin\theta<1\implies\theta<\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right), так какsinθsinθ\sin\thetaувеличивается наθ∈[0,π2]θ∈[0,π2]\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]. Итак, для 1<z<2–√1<z<21< z<\sqrt 2 , у нас естьcos−1(1z)<θ<sin−1(1z)cos−1(1z)<θ<sin−1(1z)\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)<\theta<\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right). Абсолютное значение якобиана преобразования составляет |J|=z|J|=z|J|=z Таким образом, плотность соединения (Z,Θ)(Z,Θ)(Z,\Theta) определяется как fZ,Θ(z,θ)=z1{z∈(0,1),θ∈(0,π/2)}⋃{z∈(1,2√),θ∈(cos−1(1/z),sin−1(1/z))}fZ,Θ(z,θ)=z1{z∈(0,1),θ∈(0,π/2)}⋃{z∈(1,2),θ∈(cos−1(1/z),sin−1(1/z))}f_{Z,\Theta}(z,\theta)=z\mathbf …