Распределение


10

В качестве рутинного упражнения я пытаюсь найти распределение X2+Y2 где XиY- независимыеU(0,1)случайные величины.

Плотность соединения (X,Y) равна

fX,Y(x,y)=10<x,y<1

Преобразование в полярные координаты (X,Y)(Z,Θ) такое, что

X=ZcosΘ and Y=ZsinΘ

Итак, z=x2+y2 и0<x,y<10<z<2 .

Когда 0<z<1 , мы имеем 0<cosθ<1,0<sinθ<1 , так что0<θ<π2 .

Когда 1<z<2 имеемzcosθ<θ>cos1(1z), так какcosθуменьшается наθ[0,π2]; иzsinθ<1θ<sin1(1z), так какsinθувеличивается наθ[0,π2].

Итак, для 1<z<2 , у нас естьcos1(1z)<θ<sin1(1z).

Абсолютное значение якобиана преобразования составляет

|J|=z

Таким образом, плотность соединения (Z,Θ) определяется как

fZ,Θ(z,θ)=z1{z(0,1),θ(0,π/2)}{z(1,2),θ(cos1(1/z),sin1(1/z))}

Интегрируя из θ , мы получаем pdf из Z как

fZ(z)=πz210<z<1+(πz22zcos1(1z))11<z<2

Верны ли мои рассуждения выше? В любом случае, я хотел бы избежать этого метода и вместо этого попытаться найти cdf-файл Z напрямую. Но я не смог найти нужные области при оценке Pr(Yz2X2)геометрически.

РЕДАКТИРОВАТЬ.

Я попытался найти функцию распределения Z как

FZ(z)=Pr(Zz)=Pr(X2+Y2z2)=x2+y2z210<x,y<1dxdy

Mathematica говорит, что это должно уменьшить

FZ(z)={0, if z<0πz24, if 0<z<1z21+z22(sin1(1z)sin1(z21z)), if 1<z<21, if z>2

который выглядит как правильное выражение. Дифференцирование для случая хотя выводит выражение, которое нелегко упростить до pdf, который я уже получил.FZ1<z<2

Наконец, я думаю, что у меня есть правильные картинки для CDF:

Для :0<z<1

введите описание изображения здесь

И для :1<z<2

введите описание изображения здесь

Заштрихованные участки должны обозначать область области

{(x,y):0<x,y<1,x2+y2z2}

Картинка сразу дает

FZ(z)=Pr(z2X2Yz2X2)={πz24, if 0<z<1z21+z211z2x2dx, if 1<z<2

, как я ранее нашел.


1
Чтобы найти CDF напрямую, используйте функции индикатора. ДляВ остальном это чисто алгебраические манипуляции. (Правка: я вижу, что @ Сиань только что опубликовал алгебру в своем ответе.)z0,
Pr(X2+Y2z)=0101I(x2+y2z2)dxdy.
whuber

1
Отредактируйте: я также получаю несколько различных выражений и (используя FullSimplify) они упрощают различные формулы в Mathematica . Однако они эквивалентны. Это легко показать, изобразив их разницу. Очевидно, Mathematica не знает, что когда . tan1(z21)=sec1(z)1<z<2
whuber

1
Край поверхности, , в вашем последнем изображении должен быть (полу) кругом с центром (0,0). Таким образом, вогнутый вместо (ваш в настоящее время нарисован) выпуклый. r2x2
Секст Эмпирик

Ответы:


9

То, что PDF верен, можно проверить с помощью простого моделирования

samps=sqrt(runif(1e5)^2+runif(1e5)^2)
hist(samps,prob=TRUE,nclass=143,col="wheat")
df=function(x){pi*x/2-2*x*(x>1)*acos(1/(x+(1-x)*(x<1)))}
curve(df,add=TRUE,col="sienna",lwd=3)

введите описание изображения здесь

Поиск cdf без полярной замены переменных проходит

Pr(X2+Y2z)=Pr(X2+Y2z2)=Pr(Y2z2X2)=Pr(Yz2X2,Xz)=EX[z2X2I[0,min(1,z)](X)]=0min(1,z)z2x2dx=z20min(1,z1)1y2dy[x=yz, dx=zdy]=z20min(π/2,cos1z1)sin2θdθ[y=cos(θ), dy=sin(θ)dθ]=z22[min(π/2,cos1z1)sin{min(π/2,cos1z1)}cos{min(π/2,cos1z1}]=z22{π/2 if z<1cos1z1sin{cos1z1)}z1 if z1=z22{π/2 if z<1cos1z11z2z1 if z1
который заканчивается такой же сложностью! (Плюс мои потенциальные ошибки по пути!)

Случай - это случай, когда он немного размыт. Я думаю, я не в конечном итоге с правильным PDF, дифференцирующим выражение для . 1z<2z1
StubbornAtom

2

fz(z) :

Таким образом, для у нас есть 1z<2cos1(1z)θsin1(1z)

Вы можете упростить свои выражения, когда используете симметрию и оцениваете выражения для . Таким образом, для половины пространства, а затем удвоить результат.θmin<θ<π4

Тогда вы получите:

P(Zr)=20rz(θminπ4dθ)dz=0rz(π22θmin)dz

и ваш являетсяfz(z)

fz(z)=z(π22θmin)={z(π2) if 0z1z(π22cos1(1z)) if 1<z2

Fz(z) :

Вы можете использовать неопределенный интеграл:

zcos1(1z)=12z(zcos1(1z)11z2)+C

примечаниеdducos1(u)=(1u2)0.5

Это прямо приводит к чему-то похожему на выражение Сианя для а именноPr(Zz)

если то:1z2

Fz(z)=z2(π4cos1(1z)+z111z2)

Связь с вашим выражением видна, когда мы разбиваем на два выражения , а затем преобразуем в различные выражения .cos1cos1sin1

для имеемz>1

cos1(1z)=sin1(11z2)=sin1(z21z)

а также

cos1(1z)=π2sin1(1z)

так

cos1(1z)=0.5cos1(1z)+0.5cos1(1z)=π40.5sin1(1z)+0.5sin1(z21z)

что приводит к вашему выражению, когда вы подключаете его к ранее упомянутому дляFz(z)1<z<2


1

Для , - это просто площадь четверти окружности радиуса которая равна . То есть 0z1P(X2+Y2z)z14πz2

For 0z1, area of quarter-circle=πz24=P(X2+Y2z).

Для область, по которой нам нужно интегрировать, чтобы найти можно разделить на два прямоугольных треугольника. одна из них имеет вершины и а другая имеет вершины и вместе с сектором окружности радиуса и включенным углом . Площадь этой области (и, следовательно, значение ) легко найти. Мы имеем это для1<z2P(X2+Y2z)((0,0),(0,1)(z21,1)(0,0),(1,0)(1,z21) )zπ22arccos(1z)(P(X2+Y2z)1<z2 , что является результатом ответа Мартина Ветеринга.

area of region=area of two triangles plus area of sector=z21+12z2(π22arccos(1z))=πz24+z21z2arccos1z=(P(X2+Y2z)

Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.