Нормаль, деленная на дает вам t-распределение - доказательство

пусть и . $Z \sim N(0,1)$ $W \sim \chi^2(s)$

Если и независимо распределены, то переменная следует распределению со степенями свободы . $Z$ $W$ $Y = \frac{Z}{\sqrt{W/s}}$ $t$ $s$

Я ищу доказательства этого факта, ссылка достаточно хороша, если вы не хотите записывать полный аргумент.

probability distributions references

— Монолит
источник

Формально это демонстрируется на stats.stackexchange.com/questions/52906 : отношение, записанное в виде интеграла, рассматривается как смесь гауссиан, и эта демонстрация показывает, что смесь находится в распределении.

— whuber

В некоторых учебниках это определение t-распределения. Вам не нужно доказывать это. Как получить PDF с таким определением, однако, является правильным вопросом.

— mpiktas

Ответы:

Пусть - случайная величина хи-квадрат с степенями свободы. Тогда корень квадратный из , распределяется как хи-распределение с степенями свободы, имеющим плотность $Y$ $n$ $Y$ $\sqrt Y\equiv \hat Y$ $n$

\begin{matrix} (1) & f_{\hat{Y}} (\hat{y}) = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} {\hat{y}}^{n - 1} \exp {- \frac{{\hat{y}}^{2}}{2}} \end{matrix}

$f_{\hat Y}(\hat y) = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} \hat y^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {\hat y^2}{2}} \Big\} \tag{1}$

Определение . Тогда , и по формуле замены переменной мы имеем $X \equiv \frac {1}{\sqrt n}\hat Y$ $\frac {\partial \hat Y}{\partial X} = \sqrt n$

f_{X} (x) = f_{\hat{Y}} (\sqrt{n} x) | \frac{\partial \hat{Y}}{\partial X} | = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} (\sqrt{n} x)^{n - 1} \exp {- \frac{(\sqrt{n} x)^{2}}{2}} \sqrt{n}

$f_{X}(x) = f_{\hat Y}(\sqrt nx)\Big |\frac {\partial \hat Y}{\partial X} \Big| = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} (\sqrt nx)^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {(\sqrt nx)^2}{2}} \Big\}\sqrt n$

\begin{matrix} (2) & = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} x^{n - 1} \exp {- \frac{n}{2} x^{2}} \end{matrix}

$=\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\} \tag{2}$

Пусть - стандартная нормальная случайная величина, независимая от предыдущих, и определим случайную величину $Z$

T = \frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} = \frac{Z}{X}

$T = \frac{Z}{\sqrt \frac Yn}= \frac ZX$ .

По стандартной формуле для функции плотности отношения двух независимых случайных величин

f_{T} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} | x | f_{Z} (x t) f_{X} (x) d x

$f_T(t) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f_Z(xt)f_X(x)dx$

Но для интервала потому что неотрицательный rv. Таким образом, мы можем исключить абсолютное значение и уменьшить интеграл до $f_X(x) = 0$ $[-\infty, 0]$ $X$

f_{T} (t) = \int_{0}^{\infty} x f_{Z} (x t) f_{X} (x) d x

$f_T(t) = \int_{0}^{\infty} xf_Z(xt)f_X(x)dx$

= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{(x t)^{2}}{2}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} x^{n - 1} \exp {- \frac{n}{2} x^{2}} d x

$= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \Big \{{-\frac{(xt)^2}{2}}\Big\}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\}dx$

\begin{matrix} (3) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} \int_{0}^{\infty} x^{n} \exp {- \frac{1}{2} (n + t^{2}) x^{2}} d x \end{matrix}

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) x^2\Big\} dx \tag{3}$

Подынтегральное выражение в выглядит многообещающим в конечном итоге для преобразования в функцию гамма-плотности. Пределы интеграции являются правильными, поэтому нам нужно манипулировать подынтегральной функцией, чтобы она стала функцией гамма-плотности без изменения пределов. Определите переменную $(3)$

m \equiv x^{2} \Rightarrow d m = 2 x d x \Rightarrow d x = \frac{d m}{2 x}, x = m^{\frac{1}{2}}

$m \equiv x^2 \Rightarrow dm = 2xdx \Rightarrow dx = \frac {dm}{2x}, \; x = m^{\frac 12}$ Делая подстановку в подынтегральном выражении мы имеем

\begin{matrix} (4) & I_{3} = \int_{0}^{\infty} x^{n} \exp {- \frac{1}{2} (n + t^{2}) m} \frac{d m}{2 x} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} m^{\frac{n - 1}{2}} \exp {- \frac{1}{2} (n + t^{2}) m} d m \end{matrix}

$I_3=\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big\} \frac {dm}{2x} \\ = \frac 12\int_{0}^{\infty} m^{\frac {n-1}{2}} \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big \} dm \tag{4}$

Гамма плотность может быть записана

G a m m a (m; k, θ) = \frac{m^{k - 1} \exp {- \frac{m}{θ}}}{θ^{k} Γ (k)}

$Gamma(m;k,\theta) = \frac {m^{k-1} \exp\Big\{-\frac{m}{\theta}\Big \}}{\theta^k\Gamma(k)}$

Соответствующие коэффициенты, мы должны иметь

k - 1 = \frac{n - 1}{2} \Rightarrow k^{*} = \frac{n + 1}{2}, \frac{1}{θ} = \frac{1}{2} (n + t^{2}) \Rightarrow θ^{*} = \frac{2}{(n + t^{2})}

$k-1 = \frac {n-1}{2} \Rightarrow k^* = \frac {n+1}{2}, \qquad \frac 1\theta =\frac 12 (n+t^2) \Rightarrow \theta^* = \frac 2 {(n+t^2)}$

Для этих значений и члены в подынтегральном выражении, включающем переменную, являются ядром гамма-плотности. Таким образом, если мы поделим подынтегральное выражение на и умножим вне интеграла на ту же величину, интеграл будет гамма-distr. функция и будет равна единице. Поэтому мы достигли $k^*$ $\theta^*$ $(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*)$

I_{3} = \frac{1}{2} (θ^{*})^{k^{*}} Γ (k^{*}) = \frac{1}{2} (\frac{2}{n + t^{2}})^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) = 2^{\frac{n - 1}{2}} n^{- \frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$I_3 = \frac12(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*) = \frac12 \Big (\frac 2 {n+t^2}\Big ) ^{\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right) = 2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

Вставка выше в уравнение мы получаем $(3)$

f_{T} (t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} 2^{\frac{n - 1}{2}} n^{- \frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$f_T(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

= \frac{Γ [(n + 1) / 2]}{\sqrt{n π} Γ (n / 2)} {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$=\frac{\Gamma[(n+1)/2]}{\sqrt{n\pi}\,\Gamma(n/2)}\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

... что называется (функция плотности) t-распределения Стьюдента с степенями свободы. $n$

— Алекос Пападопулос
источник

Хотя Э.С. Пирсону это не нравилось, первоначальный аргумент Фишера был геометрическим, простым, убедительным и строгим. Он опирается на небольшое количество интуитивных и легко устанавливаемых фактов. Они легко визуализируются, когда или , где геометрия может быть визуализирована в двух или трех измерениях. По сути, это сводится к использованию цилиндрических координат в для анализа iid нормальных переменных. $s=1$ $s=2$ $\mathbb{R}^s\times\mathbb{R}$ $s+1$

$s+1$ независимые и одинаково распределенные нормальные переменные сферически симметричны. Это означает, что радиальная проекция точки на единичную сферу имеет равномерное распределение на , $X_1, \ldots, X_{s+1}$ $(X_1, \ldots, X_{s+1})$ $S^s \subset \mathbb{R}^{s+1}$ $S^s$
распределения является то , что сумма квадратов независимый стандарт Нормального переменным. $\chi^2(s)$ $s$
Таким образом, устанавливая и , отношение является касательной широты точки в . $Z=X_{s+1}$ $W = X_1^2 + \cdots + X_s^2$ $Z/\sqrt{W}$ $\theta$ $(X_1, \ldots, X_s, X_{s+1})$ $\mathbb{R}^{s+1}$
$\tan\theta$ не изменяется радиальной проекцией на . $S^s$
Множество, определенное всеми точками широты на является мерной сферой радиуса . Его мерная мера поэтому пропорциональна $\theta$ $S^s$ $s-1$ $\cos \theta$ $s-1$
$\cos^{s - 1} θ = (1 + \tan^{2} θ)^{- (s - 1) / 2} .$ $\cos^{s-1}\theta = (1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}.$
Дифференциальным элементом является . $\mathrm{d}(\tan\theta) = \cos^{-2}\theta \,\mathrm{d}\theta = (1 + \tan^2\theta) \,\mathrm{d}\theta$
Запись дает , откуда и Вместе эти уравнения подразумеваютВключение коэффициента в нормирующую постоянную показывает, что плотность пропорциональна $t = Z/\sqrt{W/s} = \sqrt{s}\tan\theta$ $\tan\theta = t/\sqrt{s}$
$1 + t^{2} / s = 1 + \tan^{2} θ$ $1+t^2/s = 1+\tan^2\theta$ $d t = \sqrt{s} d \tan θ = \sqrt{s} (1 + \tan^{2} θ) d θ .$ $\mathrm{d}t = \sqrt{s}\,\mathrm{d}\tan\theta = \sqrt{s}(1+\tan^2\theta)\,\mathrm{d}\theta.$ $d θ = \frac{1}{\sqrt{s}} {(1 + t^{2} / s)}^{- 1} d t .$ $\mathrm{d}\theta = \frac{1}{\sqrt{s}} \left(1+t^2/s\right)^{-1}\mathrm{d}t.$ $1/\sqrt{s}$ $C(s)$

$(1 + \tan^{2} θ)^{- (s - 1) / 2} d θ = (1 + t^{2} / s)^{- (s - 1) / 2} (1 + t^{2} / s)^{- 1} d t = (1 + t^{2} / s)^{- (s + 1) / 2} d t .$ $(1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}\,\mathrm{d}\theta = (1 + t^2/s)^{-(s-1)/2}\ (1 + t^2/s)^{-1}\,\mathrm{d}t = (1 + t^2/s)^{-(s+1)/2}\,\mathrm{d}t.$

Это плотность студентов.

фигура

На рисунке изображено верхнее полушарие (с ) в . Перекрещенные оси охватывают гиперплоскость. Черные точки являются частью случайной выборки стандартного нормального распределения с : они представляют собой значения, проецируемые на постоянную заданную широту , показанную желтой полосой. Плотность этих точек пропорциональна мерному объему этой полосы, которая сама по себе является радиуса . Конус над этой полосой нарисован так, чтобы заканчиваться на высоте . До коэффициента $Z \ge 0$ $S^s$ $\mathbb{R}^{s+1}$ $W$ $s+1$ $\theta$ $s-1$ $S^{s-1}$ $\theta$ $\tan \theta$ $\sqrt{s}$ Распределение Стьюдента t с степенями свободы является распределением этой высоты, взвешенным по мере измерения желтой полосы при нормализации площади единичной сферы к единице. $s$ $S^s$

Кстати, нормализующая константа должна быть в (как упоминалось ранее) умноженной на относительные объемы сфер , $1/\sqrt{s}$

\begin{aligned} C (s) & = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{| S^{s - 1} |}{| S^{s} |} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s π^{s / 2} Γ (\frac{s + 1}{2} + 1)}{(s + 1) π^{(s + 1) / 2} Γ (\frac{s}{2} + 1)} \\ = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s π^{s / 2} (s + 1) / 2 Γ (\frac{s + 1}{2})}{(s + 1) π^{(s + 1) / 2} (s / 2) Γ (\frac{s}{2})} \\ = \frac{Γ (\frac{s + 1}{2})}{\sqrt{s π} Γ (\frac{s}{2})} . \end{aligned}

$\eqalign{ C(s) &= \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{|S^{s-1}|}{|S^s|} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} \Gamma(\frac{s+1}{2} + 1)}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} \Gamma(\frac{s}{2}+1)} \\ &=\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} (s+1)/2\Gamma(\frac{s+1}{2})}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} (s/2)\Gamma(\frac{s}{2})} \\ &= \frac{\Gamma(\frac{s+1}{2})}{\sqrt{s\pi}\Gamma(\frac{s}{2})}. }$

Окончательное выражение, хотя обычные, слегка маскирует красиво простое начальное выражение, которое ясно показывает значение из . $C(s)$

Фишер объяснил этот вывод В.С. Госсету (оригинал «Студент») в письме. Госсет попытался опубликовать его, полностью отдавая должное Фишеру, но Пирсон отклонил статью. Метод Фишера, примененный к существенно сходной, но более сложной проблеме определения распределения выборочного коэффициента корреляции, был в конечном итоге опубликован.

Ссылки

Р.А. Фишер. Распределение частот значений коэффициента корреляции в выборках из неопределенно большой популяции. Биометрика Том. 10, № 4 (май 1915 г.), с. 507-521. Доступно в Интернете по адресу https://stat.duke.edu/courses/Spring05/sta215/lec/Fish1915.pdf (и во многих других местах с помощью поиска, как только эта ссылка исчезнет).

Джоан Фишер Бокс, Госсет, Фишер и т. Дистрибуция. Американский статистик , вып. 35, No. 2 (May, 1981), pp. 61-66. Доступно в Интернете по адресу http://social.rollins.edu/wpsites/bio342spr13/files/2015/03/Studentttest.pdf .

Е.Л. Леманн, Фишер, Нейман и создание классической статистики. Springer (2011), глава 2.

— Whuber
источник

Это фантастическое доказательство! Я искренне надеюсь, что вы найдете это сообщение, хотя прошло уже несколько лет. На шестом этапе этого доказательства я считаю, что есть ошибка. Cos ^ -2 (theta) = (1 + tan ^ 2 (theta)), а не его обратное. Молиться там легко?

— Математик энтузиаст

@ Математика Спасибо за ваши замечания. Я не нахожу никакой ошибки на шаге 6. Возможно, вы пытаетесь прочитать " " (что означает степень ), как если бы это означало " "?

\cos^{- 2} (θ)

$\cos^{-2}(\theta)$

- 2

$-2$

\cos (θ)

$\cos(\theta)$

{(ArcCos (θ))}^{2}

$\left(\operatorname{ArcCos}(\theta)\right)^{2}$

— whuber

Я использовал простой тождество чтобы сделать вывод, что в строке 5 Но по тому же рассуждению в строке 6, . Это противоречит утверждению о том, что дифференциальный элемент равен

s e c^{2} θ = t a n^{2} θ + 1

$sec^{2}\theta = tan^{2}\theta + 1$

c o s θ = (t a n^{2} θ + 1)^{- 1 / 2}

$cos\theta=(tan^{2}\theta+1)^{-1/2}$

c o s^{- 2} θ = s e c^{2} θ = (t a n^{2} θ + 1)

$cos^{-2}\theta = sec^{2}\theta = (tan^{2}\theta + 1)$

(t a n^{2} θ + 1)^{- 1}

$(tan^{2}\theta + 1)^{-1}$

— энтузиаст математики

@ Математика Спасибо - ты прав, конечно. Я отредактировал пункты (6) и (7), чтобы исправить алгебру.

— whuber

Фух, какое облегчение! Счастливых вам праздников

— энтузиаст математики

Я бы попробовал смену переменных. Установите и например. Итак, , . Тогда, Там , где представляет собой матрицу Якоби для многовариантного функции и из и . Затем вы можете интегрировать из плотности соединения. , , и $Y=\frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{s}}}$ $X=Z$ $Z=X$ $W=\frac{sX^2}{Y^2}$ $f_{X,Y}(x,y)=f_{Z,W}(x,\frac{sx^2}{y^2})|\det(J)|$ $J$ $Z$ $W$ $X$ $Y$ $x$ $\frac{\partial Z}{\partial X}=1$ $\frac{\partial Z}{\partial Y}=0$ $\frac{\partial W}{\partial X}=\frac{2sX}{Y^2}$ $\frac{\partial W}{\partial Y}=\frac{-2sX^2}{Y^3}$ .

J = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ * & \frac{- 2 s X^{2}}{Y^{3}} \end{matrix})

$J= \begin{pmatrix} 1&0\\ *&\frac{-2sX^2}{Y^3} \end{pmatrix}$

Итак . Я просто взял взгляд на элементы теории распределения Томаса А. Северини и там, они принимают . Интеграция становится проще, используя свойства распределения Gaama. Если я использую , мне, вероятно, потребуется заполнить квадраты. $|\det(J)|=\frac{2sx^2}{y^3}$ $X=W$ $X=Z$

Но я не хочу делать расчеты.

— ztyh
источник

Я не отрицал вас, на самом деле я просто проголосовал против вас. Но я думаю, что, возможно, понизился до вашего редактирования.

— Монолит

Извините, я буду осторожен с этого момента.

— ztyh