Можно ли аналитически интегрировать

Во-первых, под аналитической интеграцией, я имею в виду, существует ли правило интеграции для решения этой проблемы, в отличие от числового анализа (например, правил трапеции, Гаусса-Лежандра или Симпсона)?

У меня есть функция где - это функция плотности вероятности логнормального распределения с параметры и . Ниже я сокращу обозначение до и буду использовать для кумулятивной функции распределения. $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}f(x) = x g(x; \mu, \sigma)$

g (x; μ, σ) = \frac{1}{σ x \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}}

$g(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2}$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

g (x)

$g(x)$

G (x)

$G(x)$

Мне нужно вычислить интеграл

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_{a}^{b} f(x) \,\rd x \>.$

В настоящее время я делаю это с помощью численного интегрирования с использованием метода Гаусса-Лежандра. Поскольку мне нужно выполнять это большое количество раз, важна производительность. Прежде чем я займусь оптимизацией численного анализа / других частей, я хотел бы знать, есть ли какие-либо правила интеграции для решения этой проблемы.

Я попытался применить правило интеграции по частям, и я достиг этого, где я снова застрял,

$\int u \,\mathrm{d}v = u v - \int v \mathrm{d}u$ .
$u=x \implies \rd u = \rd x$
$\rd v = g(x) \rd x \implies v = G(x)$
$u v - \int v \rd x = x G(x) - \int G(x) \rd x$

Я застрял, потому что я не могу оценить $\int G(x) \rd x$ .

Это для программного пакета, который я создаю.

distributions lognormal

— Рош
источник

@ Рош, под вы подразумеваете плотность вероятности распределения?

l o g n o r m a l

$lognormal$

— mpiktas

Это выражается в виде постоянной разницы двух нормальных cdf-файлов. Нормальные cdf эффективно вычисляются с использованием рационального чебышевского приближения В. Коди. Вам не нужно и почти наверняка не следует отдавать предпочтение альтернативам численной интеграции. Если вам нужно больше деталей, я могу опубликовать их.

— кардинал

@mpiktas, Да, lognormal - это функция плотности вероятности, а lognormalCDF - функция кумулятивной плотности.

— Рош

@Rosh имеет логнормальное распределение, что означает, что обычно распространяется. Таким образом, подставьте в ваш исходный интеграл. Подынтегральное выражение - это экспонента, аргумент которой является квадратичной функцией от . Завершение квадрата превращает его в кратное нормального PDF, поэтому ваш ответ записывается в терминах обычного CDF и экспонент исходных конечных точек. Есть много хороших приближений к нормальному CDF (кратному функции ошибок).

x

$x$

\log (x)

$\log(x)$

x = \exp (y)

$x = \exp(y)$

y

$y$

— whuber

Да, @whuber и я описывали одно и то же. Вы должны получить что-то вроде где и и обозначает нормальный cdf. Обратите внимание, что в зависимости от значений , , и , есть способы переписать это выражение, чтобы оно было более численно устойчивым.

e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α))

$e^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2} (\Phi(\beta) - \Phi(\alpha))$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu+\sigma^2))/\sigma$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

a

$a$

b

$b$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— кардинал

Краткий ответ : нет, это невозможно, по крайней мере, с точки зрения элементарных функций. Однако существуют очень хорошие (и достаточно быстрые!) Численные алгоритмы для вычисления такой величины, и в этом случае они должны быть предпочтительнее любого метода численного интегрирования.

Количество процентов с точки зрения нормального cdf

Интересующая вас величина на самом деле тесно связана с условным средним логнормальной случайной величины. То есть, если распространяется как логнормальное с параметрами и , то, используя вашу нотацию, $X$ $\mu$ $\sigma$

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}} d x = P (a \leq X \leq b) E (X ∣ a \leq X \leq b) .

$\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \int_a^b f(x) \rd x = \int_a^b \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2} \rd x = \Pr(a \leq X \leq b) \e(X \mid a \leq X \leq b) \>.$

Чтобы получить выражение для этого интеграла, выполните подстановку . На первый взгляд это может показаться немотивированным. Но обратите внимание, что, используя эту замену, и простым изменением переменных, мы получаем где и . $z = (\log(x) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$ $x = e^{\mu + \sigma^2} e^{\sigma z}$

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \int_{α}^{β} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} z^{2}} d z,

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} z^2} \rd z \> ,$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

Следовательно, где - стандарт нормальная кумулятивная функция распределения.

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α)),

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \big( \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) \big) \>,$

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- z^{2} / 2} d z

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \rd z$

Численное приближение

Часто утверждается, что никакого известного выражения замкнутой формы для существует. Однако теорема Лиувилля начала 1800-х годов утверждает нечто более сильное: для этой функции не существует выражения в замкнутой форме . (Доказательство в этом конкретном случае см. В статье Брайана Конрада .) $\Phi(x)$

Таким образом, нам осталось использовать численный алгоритм для аппроксимации желаемой величины. Это можно сделать с точностью до плавающей запятой двойной точности IEEE с помощью алгоритма WJ Cody's. Это стандартный алгоритм для этой задачи, и использование рациональных выражений из довольно низкого порядка, это довольно эффективно, тоже.

Вот ссылка, которая обсуждает приближение:

WJ Cody, Рациональные чебышевские приближения для функции ошибок , Math. Комп. , 1969, с. 631-637.

Это также реализация, используемая как в MATLAB, так и в , среди прочего, в случае, если это облегчает получение примера кода. $R$

Вот связанный вопрос, если вам интересно.

— кардинальный
источник