Что такое медиана нецентрального t-распределения?

10

Какова медиана нецентрального t-распределения с нецентральным параметром ? Это может быть безнадежным вопросом, потому что CDF выглядит как бесконечная сумма, и я не могу найти никакой информации об обратной функции CDF. $\delta \ne 0$

— shabbychef
источник

11

Вы можете приблизить это.

Например, я сделал следующие нелинейные подгонки для (степени свободы) от 1 до 20 и (параметр нецентральности) от 0 до 5 (с шагом 1/2). Позволять $\nu$ $\delta$

a (ν) = 0.963158 + \frac{0.051726}{ν - 0.705428} + 0.0112409 \log (ν),

$a(\nu) = 0.963158 + \frac{0.051726}{\nu-0.705428} + 0.0112409\log(\nu),$

b (ν) = - 0.0214885 + \frac{0.406419}{0.659586 + ν} + 0.00531844 \log (ν),

$b(\nu) = -0.0214885+\frac{0.406419}{0.659586 +\nu}+0.00531844 \log(\nu),$

а также

g (ν, δ) = δ + a (ν) \exp (b (ν) δ) - 1.

$g(\nu, \delta) = \delta + a(\nu) \exp(b(\nu) \delta) - 1.$

Затем оценивает медиану в пределах 0,15 для , 0,03 для , 0,015 для и 0,007 для 4,5 . $g$ $\nu=1$ $\nu=2$ $\nu=3$ $\nu = 4, 5, \ldots, 20$

Оценка была сделана путем вычисления значений и для каждого значения от 1 до 20, а затем отдельно подгонки и к . Я проверил графики и чтобы определить подходящую функциональную форму для этих припадков. $a$ $b$ $\nu$ $a$ $b$ $\nu$ $a$ $b$

Вы можете добиться большего успеха, сосредоточившись на интервалах этих параметров, которые вас интересуют. В частности, если вас не интересуют действительно небольшие значения вы можете легко улучшить эти оценки, вероятно, с точностью до 0,005. $\nu$

Вот графики зависимости медианы от для , наиболее сложного случая и отрицательных остатков (истинная медиана минус приблизительное значение) и : $\delta$ $\nu=1$ $\delta$

Нецентральная t-медиана, дельта от 0 до 5, nu = 1

Нецентральные t-медианные остатки, дельта от 0 до 5, nu = 1

Остатки действительно малы по сравнению с медианой.

Кстати, для всех, кроме самых маленьких степеней свободы, медиана близка к параметру нецентральности. Вот график медианы для от 0 до 5 и (рассматривается как реальный параметр) от 1 до 20. $\delta$ $\nu$

Нецентральная t-медиана против нуля и дельты (в псевдо 3D)

Для многих целей достаточно использовать для оценки медианы. Вот график ошибки (относительно ), допущенной в предположении, что медиана равна (для от 2 до 20). $\delta$ $\delta$ $\delta$ $\nu$

(Медиана - дельта) / дельта против дельты и ню

— Whuber
источник

3

+1, классно. Как вы пришли к функциональной форме для ?

g

$g$

— mpiktas

1

@mpiktas Комбинация просмотра формул для CDF и построения медианы против . Экспонента, с двумя параметрами, в действительности совпадает с квадратичным полиномом (с тремя параметрами).

ν

$\nu$

— whuber

5

Если вас интересуют (степени свободы) ν> 2, следующее асимптотическое выражение [полученное из интерполяционного приближения к нецентральному квантилю студентов-t, DL Bartley, Ann. Occup. Hyg., Vol. 52, 2008] достаточно точен для многих целей:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

При ν> 2 максимальная величина смещения вышеприведенного выражения относительно нецентральной средней t-студента составляет около 2% и быстро уменьшается с увеличением ν. Контурная диаграмма показывает смещение асимптотического приближения относительно нецентральной t-медианы студента:

— Дэвид Бартли
источник