UMVUE при выборке из популяции
Пусть - случайная выборка из плотности(X1,X2,…,Xn)(X1,X2,…,Xn)(X_1,X_2,\ldots,X_n)fθ(x)=θxθ−110<x<1,θ>0fθ(x)=θxθ−110<x<1,θ>0f_{\theta}(x)=\theta x^{\theta-1}\mathbf1_{00 Я пытаюсь найти UMVUE .θ1+θθ1+θ\frac{\theta}{1+\theta} Совместная плотность является(X1,…,Xn)(X1,…,Xn)(X_1,\ldots,X_n) fθ(x1,⋯,xn)=θn(∏i=1nxi)θ−110<x1,…,xn<1=exp[(θ−1)∑i=1nlnxi+nlnθ+ln(10<x1,…,xn<1)],θ>0fθ(x1,⋯,xn)=θn(∏i=1nxi)θ−110<x1,…,xn<1=exp[(θ−1)∑i=1nlnxi+nlnθ+ln(10<x1,…,xn<1)],θ>0\begin{align} f_{\theta}(x_1,\cdots,x_n)&=\theta^n\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta-1}\mathbf1_{00 \end{align} Поскольку совокупность pdf относится к семипараметрическому экспоненциальному семейству, это показывает, что полной достаточной статистикой для являетсяfθfθf_{\theta}θθ\thetaT(X1,…,Xn)=∑i=1nlnXiT(X1,…,Xn)=∑i=1nlnXiT(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^n\ln X_i Так как , на первый взгляд даст мне UMVUE от Теорема Лемана-Шеффе. Не уверен, …