Следует ли рассматривать дельта-функцию Дирака как подкласс гауссовского распределения?

В Викиданных можно связать распределения вероятностей (как и все остальное) в онтологии, например, что t-распределение является подклассом нецентрального t-распределения, см., Например,

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

Существуют различные предельные случаи, например, когда степени свободы в t-распределении переходят в бесконечность или когда дисперсия приближается к нулю для нормального распределения (распределение Гаусса). В последнем случае распределение будет идти к дельта-функции Дирака.

Я отмечаю, что в английской Википедии параметр дисперсии в настоящее время указан как больше нуля, поэтому при строгой интерпретации нельзя сказать, что дельта-функция Дирака является подклассом нормального распределения. Однако мне кажется, что все в порядке, так как я бы сказал, что экспоненциальное распределение является суперклассом дельта-функции Дирака.

Есть ли проблемы с утверждением, что дельта-функция Дирака является подклассом распределения Гаусса?

distributions normal-distribution dirac-delta

— Финн Оруп Нильсен
источник

Если дельта Дирака является подклассом гауссовского, тогда ее эксцесс должен быть равен 3, верно?

— Аксакал

Я предполагаю, что если мы рассмотрим дельту Дирака как подкласс нескольких распределений вероятности, то эксцесс несовместим с дельтой Дирака. Он выступает против того, чтобы рассматривать дельту Дирака как подкласс любого из этих распределений.

— Финн Оруп Нильсен

В вероятностном контексте дельта описывается как обобщенная функция. Это не обычная функция

— Аксакал

Ответы:

Дельта Дирака считается гауссовским распределением, когда это удобно, и не рассматривается, когда эта точка зрения требует от нас делать исключения.

Например, говорят , что имеют многомерное гауссовское распределение, если - случайная переменная Гаусса для всех вариантов действительных чисел . (Примечание: это стандартное определение в «расширенной» статистике). Так как один выбор $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\sum_i a_iX_i$ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ стандартное определение рассматривает постоянную (вырожденную случайную переменную) как гауссовскую случайную переменную (со средним значением и дисперсией ). С другой стороны, мы игнорируем наше отношение к дельте Дирака как к гауссову распределению, когда мы рассматриваем что-то вроде $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ $0$ $0$

«Кумулятивная функция распределения вероятности (CDF) случайной величины Гаусса со средним нулем со стандартным отклонением равна $\sigma$ где- CDF стандартной гауссовской случайной величины. "

F_{X} (x) = P {X \leq x} = Φ (\frac{x}{σ})

$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

Обратите внимание, что это утверждение является почти правильным, но не совсем правильным, если рассматривать дельту Дирака как предельный случай последовательности гауссовских случайных величин с нулевым средним, стандартное отклонение которых приближается к (и, следовательно, как гауссовской случайной переменной). CDF дельты Дирака имеет значение при тогда как $0$ $1$ $x \geq 0$ Но многие люди скажут вам, что рассматривать дельту Дирака как гауссовское распределение - это полная ерунда, поскольку в их книге говорится, что дисперсия гауссовой случайной величины должна быть положительным числом ( и некоторые из них проголосуют против этого ответа, чтобы показать свое недовольство). Несколько лет назад было очень энергичное и яркое обсуждение этого вопроса на stats.SE, но, к сожалению, это было только в комментариях к ответу (от @Macro, я полагаю), а не как отдельные ответы, и я не могу найти его снова ,

lim_{σ \to 0} Φ (\frac{x}{σ}) = {\begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & x = 0, \\ 1, & x > 0. \end{cases}

$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$

— Дилип Сарватэ
источник

0

$0$

(μ, σ) \to (0, 0)

$(\mu,\sigma)\to(0,0)$

Φ_{μ, σ} (0)

$\Phi_{\mu,\sigma}(0)$

0

$0$

1

$1$

— whuber

Разговор, на который вы ссылаетесь, произошел в комментариях к этому ответу , хотя я искренне надеюсь, что большинству читателей обсуждение не покажется слишком энергичным. (+1)

— кардинал

@cardinal Глубокое знание нашего сообщества. Отлично сработано!

— Мэтью Друри

Дельта-функции вписываются в математическую теорию распределений (которая совершенно отличается от теории вероятностных распределений , терминология здесь не может быть более запутанной).

$D$

$T$ $\theta$ $D: T \rightarrow \mathbb{R}$

$f$

T (θ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) θ (x) d x

$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$

Есть распределения, которые не связаны с истинными функциями, оператор Дирака является одним из них

δ (θ) = θ (0)

$\delta(\theta) = \theta(0)$

$N_t$ $t$ $\theta$

θ (0) знак равно \underset{T \to 0}{Ит} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{T} (Икс) θ (Икс) d Икс

$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

Это, вероятно, чаще выражается как

θ (0) знак равно \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (Икс) θ (Икс) d Икс знак равно \underset{T \to 0}{Ит} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{T} (Икс) θ (Икс) d Икс

$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

$\delta(x)$

Конечно, вопрос о том, делает ли Дирак членом семьи нормальных распределений, является культурным вопросом. Здесь я просто привожу причину, почему может иметь смысл считать это так.

— Мэтью Друри
источник

Хотя я согласен с вашими заявлениями, я думаю, что это подразумевает обратное. Дельта-функция не является подмножеством гауссовцев. Так же, как предел непрерывных функций не обязательно должен быть непрерывной функцией.

— seanv507

@ seanv507 Я сделал все возможное, чтобы не утверждать заключение в любом случае!

— Мэтью Друри

Я думал, что распределения очень похожи на распределения вероятностей, с распределением дельты Дирака (вероятности), указывающим на детерминированную переменную ...

— user541686

Если вы не напишите пределы интегралов, они могут быть перепутаны с неопределенными интегралами. Кроме того, это предложение не имеет смысла: «Тестовая функция θ является истинной, честной для бога функцией, гладкой, с компактной поддержкой».

— Огогмад

@jkabrg Почему это не имеет смысла? С тех пор как я написал это, мне трудно увидеть, что это не имеет смысла.

— Мэтью Друри

-1

Нет, это не подкласс нормального распределения.

Я думаю, что путаница происходит от одного из представлений о функции Дирака. Помните, что это определяется следующим образом:

\int_{- \infty}^{\infty} δ (Икс) d Икс знак равно 1

$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$

δ (Икс) знак равно 0, \forall Икс \neq 0

$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$

δ (Икс) знак равно \underset{σ \to 0}{Ит} \frac{е^{\frac{- {Икс}^{2}}{2 σ^{2}}}}{\sqrt{2 π} σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$

δ (Икс) знак равно \frac{1}{2 π} Σ_{К знак равно - \infty}^{\infty} е^{я К Икс}, \forall Икс \in (- π, π)

$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$

Следовательно, лучше всего думать о функции Дирака с точки зрения ее интегрального определения и принимать представления функций, такие как гауссовские, в качестве инструментов удобства.

ОБНОВЛЕНИЕ К вопросу @ whuber, более четкий пример - это представление дельты Дирака:

δ (Икс) знак равно \underset{σ \to 0}{Ит} \frac{е^{- \frac{| Икс |}{σ}}}{2 σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$

Похоже ли это на распределение Лапласа ? Разве мы не должны рассматривать дельту Дирака как подкласс лапласова распределения?

— Аксакал
источник

В какой-то момент в этом ответе вы, кажется, переключаетесь с обсуждения распределений на обсуждение «функций». Вопрос прямо относится к «распределению вероятностей». Они обычно не задаются функциями плотности, но всегда могут быть заданы их функцией распределения. Распределение атома - «дельта Дирака» - прекрасно согласуется со всеми другими гауссовыми распределениями в качестве предельного случая. (В настройке Мэтью Друри он определен как этот предел!) Ваш аргумент похож на утверждение, что, скажем, круги не являются эллипсами. Применение таких исключений не кажется конструктивным.

— whuber

@whuber, что такое "распределение атома"?

— Аксакал

«Атом» - это единица вероятности в одной точке. Эквивалентно, это распределение любой случайной величины, которая постоянна почти везде.

— whuber

@ whuber, О, я думал о физическом атоме. Нет, я хочу сказать, что дельта Дирака не является подклассом гауссовского, потому что она может быть представлена также лапласианскими дистрибутивами

— Аксакал

(0, 1)

$(0,1)$

(0, θ)

$(0,\theta)$

(α, β)

$(\alpha,\beta)$

— whuber