Нижняя граница для определителя и постоянного

В свете недавней пропасти на глубине 3 результата (который, среди прочего, дает глубины 3 арифметическая схема дляп×попределителя надС), у меня следующие вопросы: Григорьев и Карпиньскидоказалв2Ом(п)нижняя граница для любой глубины-3 арифметической схемы вычислительной Определительп×пматрицы над конечными полями (что, я думаю, справедливо и для перманента). Формула Райзерадля вычисления перманента дает арифметическую схему глубины 3 размераO(n22n)=2O$2^{\sqrt{n}\log{n}}$$n \times n$$\mathbb{C}$$2^{\Omega{(n)}}$$n \times n$ . Это показывает, что результат является по существу тесным для схем глубины 3 для Перманента над конечными полями. У меня есть два вопроса:$O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$

1) Существует ли формула глубины 3 для определителя, аналогичная формуле Райзера для перманента?

2) Дает ли нижняя граница для размера арифметических схем, вычисляющих полином Детерминант \ textit {всегда}, нижнюю границу для постоянного полинома? (Над они - те же самые многочлены).$\mathbb{F}_2$

Хотя мой вопрос в настоящее время касается этих многочленов над конечными полями, я также хотел бы знать статус этих вопросов над произвольными полями.

Перманентность завершена для VNP при p-проекциях на любое поле, не имеющее характеристики 2. Это дает положительный ответ на ваш второй вопрос. Если бы это сокращение было линейным, это дало бы положительный ответ на ваш первый вопрос, но я считаю, что оно остается открытым.

Более подробно: существует некоторый многочлен такой, что d e t n ( X ) является проекцией p e r m q ( n ) ( Y ) , т.е. существует определенная подстановка, отправляющая каждую переменную y i j либо переменной x k ℓ или константе, такой, что после этой замены постоянный q ( n ) × q ( n ) вычисляет $q(n)$$det_n(X)$$perm_{q(n)}(Y)$$y_{ij}$$x_{k\ell}$$q(n) \times q(n)$ определитель.$n \times n$

1) Таким образом, формула Райзера дает формулу глубины 3 (глубина не увеличивается при проекциях, потому что замены могут быть сделаны на входных затворах) размера для определителя. ОБНОВЛЕНИЕ : Как @Ramprasad указывает в комментариях, это дает что-то нетривиальное, только если q ( n ) = o ( n log n ) , так как существует тривиальная формула глубины 2 размера n ⋅ n ! = 2 O ( n log n $2^{O(q(n))}$$q(n) = o(n \log n)$$n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$для дет. Я с Рампрасадом в том смысле, что лучшее, что я знаю, - это сокращение через АД, которое дает .$q(n)=O(n^3)$

2) Если постоянный можно вычислить - опять же, по некоторому полю характеристики, отличной от 2, - схемой размера s ( m ) , то определитель n × n можно вычислить схемой размера s ( q ( n). ) ) . Таким образом, нижняя граница b ( n ) для размера цепи для d e t n дает нижнюю границу b ( q - 1 ( n ) ) для размера цепи для перманента (это$m \times m$$s(m)$$n \times n$$s(q(n))$$b(n)$$det_n$$b(q^{-1}(n))$ обратная, а не 1 / q ( n ) ). Вышеупомянутая д ( п ) = О ( п 3 ) дает Ь ( п 1 / 3 ) завивка нижней границы из Ь ( п ) DET нижней границы.$q$ $1/q(n)$$q(n)=O(n^3)$$b(n^{1/3})$$b(n)$

Вполне возможно, что определитель, в некотором смысле, сложнее, чем постоянный. Оба они являются полиномами, ранг Варинга (суммы n степеней линейных форм) перманента составляет примерно 4 ^ n, ранг Чоу (суммы произведений линейных форм) составляет примерно 2 ^ n. Очевидно, Waring Rank \ leq 2 ^ {n-1} Чоу ранг. Для определителя эти числа являются просто нижними границами. С другой стороны, я недавно доказал, что ранг Варинга по определителю ограничен сверху (n + 1)! и это может быть близко к истине.