Сумма двух нормальных произведений это Лаплас?

Очевидно, что если , то $X_i \sim N(0,1)$

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

Я видел статьи о произвольных квадратичных формах, которые всегда приводят к ужасным нецентральным выражениям хи-квадрат.

Приведенные выше простые отношения не кажутся мне очевидными, поэтому (если это правда!) Есть ли у кого-нибудь простое доказательство вышеизложенного?

— Corone
источник

Элементарная последовательность шагов, использующая известные отношения между распределениями и простую алгебраическую поляризационную идентичность, обеспечивает элементарную и интуитивную демонстрацию.

Я обнаружил, что эта поляризационная идентичность в целом полезна для рассуждения и вычисления продуктов случайных величин, потому что она сводит их к линейным комбинациям квадратов. Это немного похоже на работу с матрицами, сначала по диагонали. (Здесь есть более чем поверхностная связь.)

Распределение Лапласа - это разность двух экспонент (что интуитивно имеет смысл, потому что экспонента - это распределение «полу-лапласа»). (Ссылка демонстрирует это, манипулируя характеристическими функциями, но связь может быть доказана с использованием элементарного интегрирования, следующего из определения разности как свертки.)

Распределение Экспоненциальное (которое само по себе является распределение) также ( в масштабе вариант а) распределения. Масштабный коэффициент . Это легко увидеть, сравнив PDF-файлы двух дистрибутивов. $\Gamma(1)$ $\chi^2(2)$ $1/2$

Распределения $\chi^2$ получаются естественным образом в виде сумм квадратов iid нормальных распределений (имеющих нулевые средние). Степени свободы,, считают количество нормальных распределений в сумме. $2$

Алгебраическое отношение

X_{1} X_{2} + X_{3} X_{4} = [{(\frac{X_{1} + X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} + X_{4}}{2})}^{2}] - [{(\frac{X_{1} - X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} - X_{4}}{2})}^{2}]

$X_1X_2 + X_3X_4 = \left[\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3+X_4}{2}\right)^2\right] - \left[\left(\frac{X_1-X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3-X_4}{2}\right)^2\right]$

показывает в виде квадратов четырех распределений, каждое из которых представляет собой линейную комбинацию стандартных нормалей. Легко проверить, что все четыре линейные комбинации являются линейно независимыми (и каждая следует за нормальным $X_1X_2 + X_3X_4$ распределение). Таким образом, первые два слагаемых, которые суммируют квадраты двух одинаково распределенных нормальных распределений среднего нуля, образуютмасштабированноераспределение(и его масштабный коэффициент $(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$ в точности точто нужночтобы сделать его распределение Экспоненциальное)а вторые два члена независимо другдруга имеют экспоненциальное распределение, тоже, по той же причине. $\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

Следовательно, , являясь разностью двух независимых экспоненциальных распределений, имеет (стандартное) распределение Лапласа. $X_1X_2+X_3X_4$

— Whuber
источник

Это абсолютно восхитительно!

— Корона

Я только что заметил, что другой ответ, основанный на функциях, генерирующих моменты, появляется на stats.stackexchange.com/a/51717/919 : см. Абзац в середине начала «случайно» (другое название для распределения Лапласа - «биэкспоненциальный») ). Эта тема касается MGF обобщения настоящего вопроса.

— whuber

Хороший вывод, но откуда вы знаете, что разность двух независимых экспоненциально-распределенных переменных имеет распределение Лапласа?

— Здравствуйте, до свидания,

@ Здравствуйте, перейдите по ссылке: она идет к статье в Википедии, которая включает краткую демонстрацию.

— whuber

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$ имеет характерную функцию

φ_{Икс} (T) знак равно \frac{1}{1 + T^{2}}

$\phi_X(t) = \frac{1}{1+t^2}$ которая является квадратом характеристической функции стандартного нормали продукта (см. /math/74013/characteristic-function-of-product-of-normal-random-variables ). Утверждение следует из того факта, что суммы независимых случайных величин относятся к произведениям характеристических функций.

— Michael M
источник