Как понять формулу коэффициента корреляции?

Может ли кто-нибудь помочь мне понять формулу корреляции Пирсона? образец = среднее из продуктов стандартных оценок переменных X и Y .$r$$X$$Y$

Я вроде понимаю, почему им нужно стандартизировать и Y , но как понять продукты обоих z-баллов? $X$$Y$

Эта формула также называется «коэффициент корреляции продукта и момента», но каково обоснование действия продукта? Я не уверен, ясно ли я изложил свой вопрос, но я просто хочу запомнить формулу интуитивно.

В комментариях было предложено 15 способов понять коэффициент корреляции:

• «Тринадцать способов взглянуть на коэффициент корреляции» (Rodgers & Nicewander 1988)
• Через ковариацию
• Через круги

13 способов, обсуждаемых в статье Роджерса и Никвандера («Американский статистик», февраль 1988 г.):

1. Функция необработанных результатов и средств,

   $$r =\frac{\sum\left(X_i - \bar{X}\right)\left(Y_i - \bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum\left(X_i-\bar{X}\right)^2\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}}.$$

2. Стандартизированная ковариация,

   $$r = s_{XY}/(s_Xs_Y)$$

   где - выборочная ковариация, а s X и s Y - выборочные стандартные отклонения.$s_{XY}$$s_X$$s_Y$

3. Стандартизированный наклон линии регрессии,

   $$r = b_{Y\cdot X}\frac{s_X}{s_Y} = b_{X\cdot Y}\frac{s_Y}{s_X},$$

   где и b X ⋅ Y - наклоны линий регрессии.$b_{Y\cdot X}$$b_{X \cdot Y}$

4. Среднее геометрическое значение двух наклонов регрессии,

   $$r = \pm \sqrt{b_{Y\cdot X}b_{X\cdot Y}}.$$

5. Квадратный корень отношения двух вариаций (учитываемая доля изменчивости),

   $$r = \sqrt{\frac{\sum\left(Y_i - \hat{Y_i}\right)^2}{\sum\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}} = \sqrt{\frac{SS_{REG}}{SS_{TOT}}} = \frac{s_\hat{Y}}{s_Y}.$$

6. Среднее перекрестное произведение стандартизированных переменных,

   $$r = \sum z_X z_Y / N.$$

7. Функция угла между двумя стандартизированными линиями регрессии. Две линии регрессии ( против X и X против Y ) симметричны относительно диагонали. Пусть угол между двумя линиями равен β . потом$Y$$X$$X$$Y$$\beta$

   $$r = \sec(\beta)\pm \tan(\beta).$$

8. Функция угла между двумя переменными векторами,

   $$r = \cos(\alpha).$$

9. Пересчитанная дисперсия разницы между стандартизированными оценками. Пусть будет разницей между стандартизированными переменными X и Y для каждого наблюдения,$z_Y - z_X$$X$$Y$

   $$r = 1 - s^2_{(z_Y - z_X)} / 2 = s^2_{(z_Y+z_X)}/2 - 1.$$

10. По оценкам из правила "Воздушный шар",

    $$r \approx \sqrt{1 - (h/H)^2}$$

    где - вертикальный диапазон всей диаграммы рассеяния X - Y, а h - диапазон через «центр распределения по оси X » (то есть через среднюю точку).$H$$X-Y$$h$$X$

11. По отношению к двумерным эллипсам изоконцентрации

    $$r = \frac{D^2 - d^2}{D^2 + d^2}$$

    где и d - длины большой и малой осей соответственно. r также равен наклону касательной линии изоконтура (в стандартизированных координатах) в точке, где контур пересекает вертикальную ось.$D$$d$$r$

12. Функция статистики испытаний из разработанных экспериментов,

    $$r = \frac{t}{\sqrt{t^2 + n-2}}$$

    $t$$t$$X=0, 1$$n$

13. $X_c$$X$

    $$r = \frac{\mathbb{E}(Y\,|\,X\gt X_c)}{\mathbb{E}(X\,|\,X\gt X_c)}.$$

(Большинство из них дословно, с некоторыми незначительными изменениями в некоторых обозначениях.)

Некоторые другие методы (возможно, оригинальные для этого сайта)

• $r$

• $r$