Вы можете доказать это с помощью метода Штейна, однако это спорно , если доказательство элементарно. Плюс метода Штейна в том, что вы получаете немного более слабую форму оценок Берри Эссеена практически бесплатно. Кроме того, метод Штейна - не что иное, как черная магия! Вы можете найти описание доказательства в разделе 6 этой ссылки . Вы также найдете другие доказательства CLT в ссылке.
Вот краткий план:
1) Докажите, используя простую интеграцию по частям и нормальную плотность распределения, то для всех непрерывно дифференцируема тогда и только тогда является распределены. Это проще показать нормальный следует результат и немного сложнее показать обратное, но , возможно , оно может быть принято на веру.A N ( 0 , 1 ) AEf′(A)−Xf(A)=0AN(0,1)A
2) В более общем смысле, если для каждого непрерывно дифференцируемого с ограниченным, то сходится к в распределении. Доказательством здесь снова является интеграция по частям с некоторыми хитростями. В частности, нам нужно знать, что сходимость в распределении эквивалентна для всех ограниченных непрерывных функций . Исправляя , это используется для переформулировки:Ef(Xn)−Xnf(Xn)→0ff,f′XnN(0,1)Eg(Xn)→Eg(A)gg
Eg(Xn)−Eg(A)=Ef′(Xn)−Xnf(Xn),
где один решает для с использованием базовой теории ОДУ, а затем показывает приятно. Таким образом, если мы можем найти такой хороший , по предположению, rhs переходит в 0, и, следовательно, так же, как и в левой части.fff
3) Наконец, докажите центральную предельную теорему для где идентифицированы со средним 0 и дисперсией 1. Это снова использует трюк на шаге 2, где для каждого находим такой, что:Yn:=X1+⋯+Xnn√Xigf
Eg(Xn)−Eg(A)=Ef′(Xn)−Xnf(Xn).