Может ли кто-нибудь предоставить простое (непрофессиональное) объяснение связи между распределениями Парето и теоремой о центральном пределе (например, применимо ли это? Почему / почему нет?)? Я пытаюсь понять следующее утверждение:
Может ли кто-нибудь предоставить простое (непрофессиональное) объяснение связи между распределениями Парето и теоремой о центральном пределе (например, применимо ли это? Почему / почему нет?)? Я пытаюсь понять следующее утверждение:
Ответы:
В общем, это утверждение неверно - распределение Парето имеет конечное среднее значение, если его параметр формы ( в звене) больше 1.
Когда существует среднее значение и дисперсия ( ), будут применяться обычные формы центральной предельной теоремы - например, классическая, Ляпунова, Линдеберга
Смотрите описание классической центральной предельной теоремы здесь
Цитата довольно странная, потому что центральная предельная теорема (в любой из упомянутых форм) относится не к самому образцу среднего значения, а к стандартизированному среднему (и если мы попытаемся применить его к чему-то, чье среднее значение и дисперсия конечно, нам нужно очень тщательно объяснить, о чем мы говорим, поскольку числитель и знаменатель включают вещи, которые не имеют конечных ограничений).
Тем не менее (несмотря на то, что они не совсем правильно выражены для того, чтобы говорить о центральных предельных теоремах), у него действительно есть кое-что из основного пункта - среднее значение выборки не будет сходиться к среднему значению населенности ( слабый закон больших чисел не выполняется, поскольку интеграл, определяющий среднее, не является конечным).
Как справедливо указывает kjetil в комментариях, если мы хотим, чтобы скорость конвергенции не была ужасной (т. Е. Чтобы иметь возможность использовать ее на практике), нам нужно какое-то ограничение на «как далеко» / «как быстро» приближение приближения. Бесполезно иметь адекватное приближение для (скажем), если мы хотим некоторого практического использования от нормального приближения.
### Pareto dist and the central limit theorem
###
require(actuar) # for (dpqr)pareto1()
require(MASS) # for Scott()
require(scales) # for alpha()
# We use (dpqr)pareto1(x,alpha,1)
#
alpha <- 2.1 # variance just barely exist
E <- function(alpha) ifelse(alpha <= 1,Inf,alpha/(alpha-1))
VAR <- function(alpha) ifelse(alpha <= 2,Inf,alpha/((alpha-1)^2 * (alpha-2)))
R <- 10000
e <- E(alpha)
sigma <- sqrt(VAR(alpha))
sim <- function(n) {
replicate(R, {x <- rpareto1(n,alpha,1)
x <- x-e
mean(x)*sqrt(n)/sigma },simplify=TRUE)
}
sim1 <- sim(10)
sim2 <- sim(100)
sim3 <- sim(1000)
sim4 <- sim(10000) # do take some time ...
### These are standardized so have all theoretically variance 1.
### But due to the long tail, the empirical variances are (surprisingly!) much lower:
sd(sim1)
sd(sim2)
sd(sim3)
sd(sim4)
### Now we plot the histograms:
hist(sim1,prob=TRUE,breaks="Scott",col=alpha("grey05",0.95),main="simulated pareto means",xlim=c(-1.8,16))
hist(sim2,prob=TRUE,breaks="Scott",col=alpha("grey30",0.5),add=TRUE)
hist(sim3,prob=TRUE,breaks="Scott",col=alpha("grey60",0.5),add=TRUE)
hist(sim4,prob=TRUE,breaks="Scott",col=alpha("grey90",0.5),add=TRUE)
plot(dnorm,from=-1.8,to=5,col=alpha("red",0.5),add=TRUE)
А вот и сюжет:
, Практический способ думать об этом заключается в следующем. Распределение Парето часто предлагается для моделирования распределения дохода (или богатства). Ожидание дохода (или богатства) будет иметь очень большой вклад от нескольких миллиардов. Выборка с практическими размерами выборки будет иметь очень малую вероятность включения любых миллиардов в выборку!
Мне нравятся уже предоставленные ответы, но я думаю, что для «объяснения непрофессионала» есть много технических, поэтому я попробую что-то более интуитивное (начиная с уравнения ...).
N=10000;
x=rnorm(N,1,1);
y=rep(NA,N);
for(index in seq(1,N))
{
y[index]=mean(x[1:index])
}
png('~/Desktop/normalMean.png')
plot(y,type='l',xlab='n',ylab='sum(x_i)/n')
dev.off()
Это типичная реализация: среднее значение выборки сходится к среднему плотности достаточно правильно (и в среднем по способу, указанному в центральной предельной теореме). Давайте сделаем то же самое для распределения Парето без среднего (замена rnorm (N, 1,1); на парето (N, 1,1,1);)