Почему ρ Пирсона является лишь исчерпывающей мерой ассоциации, если совместное распределение является многомерным нормальным?

Это утверждение было высказано в ответе на этот вопрос . Я думаю, что вопрос «почему» достаточно отличается, что требует новой темы. Гугл "исчерпывающая мера ассоциации" не дал никаких результатов, и я не уверен, что означает эта фраза.

Возможно, лучше всего понимать «меру ассоциации» в многомерном распределении, состоящем из всех свойств, которые остаются неизменными, когда значения произвольно масштабируются и повторно центрируются. Это может изменить средние значения и отклонения на любые теоретически допустимые значения (отклонения должны быть положительными; средства могут быть любыми).

Коэффициенты корреляции (« Пирсона ») полностью определяют многомерное нормальное распределение. Один из способов увидеть это - взглянуть на любое формульное определение, такое как формулы для функции плотности или характеристической функции. Они включают только средства, дисперсии и ковариации - но ковариации и корреляции могут быть выведены друг от друга, когда вы знаете дисперсии.$\rho$

Многомерное семейство Normal не единственное семейство распределений, которое обладает этим свойством. Например, любое многомерное t-распределение (для степеней свободы, превышающих ) имеет четко определенную корреляционную матрицу и полностью определяется также его первыми двумя моментами.$2$

Варианты могут быть связаны способами, к которым корреляция Пирсона полностью слепа.

В многомерной норме корреляция Пирсона является «исчерпывающей» в том смысле, что единственная возможная связь индексируется$\rho$, Но для других распределений (даже с нормальными полями) может быть связь без корреляции. Вот пара графиков из 3 нормальных случайных величин (x, y и x, z); они тесно связаны (если вы скажете мне значение$x$-Вариант, я скажу вам два других, и если вы скажете мне $y$ Я могу сказать вам, $z$), но все они некоррелированы.

Вот еще один пример связанных, но некоррелированных изменений:

(Основной момент делается о распределениях, хотя я иллюстрирую это здесь данными.)

Даже когда переменные коррелируют, корреляция Пирсона в целом не говорит вам, как - вы можете получить очень разные формы ассоциации, которые имеют одинаковую корреляцию Пирсона, (но когда переменные многомерны нормальны, как только я скажу вам, корреляцию вы можете точно сказать, как связаны стандартизированные переменные).

Таким образом, корреляция Пирсона не «исчерпывает» способы, которыми связаны вариации - они могут быть связаны, но некоррелированы, или они могут быть коррелированы, но связаны совершенно разными способами. [Разнообразие способов, с помощью которых может происходить ассоциация, не полностью охваченная корреляцией, весьма велико - но если произойдет какой-либо из них, у вас не может быть многовариантной нормали. Обратите внимание, однако, что ничто в моей дискуссии не подразумевает, что это (что знание$\rho$ определяет возможную ассоциацию) характеризует многовариантную норму, хотя цитата заголовка, кажется, предлагает это.]

(Распространенным способом решения многовариантных ассоциаций являются связки. На сайте имеется множество вопросов, касающихся связок; некоторые из них могут оказаться полезными)