Почему дисперсия случайного блуждания увеличивается?

Случайная прогулка , которая определяется как , где является белым шумом. Обозначает, что текущая позиция является суммой предыдущей позиции + непредсказуемый термин.$Y_{t} = Y_{t-1} + e_t$$e_t$

Вы можете доказать, что средняя функция , так как$\mu_t = 0$$E(Y_{t}) = E(e_1+ e_2+ ... +e_t) = E(e_1) + E(e_2) +... +E(e_t) = 0 + 0 + ... + 0$

Но почему дисперсия возрастает линейно со временем?

Это как-то связано с не «чистой» случайностью, поскольку новая позиция очень коррелирует с предыдущей?

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Теперь я гораздо лучше понимаю, визуализируя большую выборку случайных блужданий, и здесь мы можем легко заметить, что общая дисперсия со временем увеличивается ,

и среднее значение, как ожидается, около нуля.

Возможно, в конце концов это было тривиально, поскольку на самых ранних этапах временного ряда (сравните время = 10 со 100) у случайных бродяг еще не было времени, чтобы исследовать так много.

Короче говоря, потому что он продолжает добавлять дисперсию следующих приращений к изменчивости, которую мы имеем, чтобы добраться до того места, где мы сейчас находимся.

$\text{Var}(Y_{t}) = \text{Var}(e_1+ e_2+ ... +e_t)$
$\qquad\quad\;\;= \text{Var}(e_1) + \text{Var}(e_2) +... +\text{Var}(e_t)$ (независимость)
$\qquad\quad\;\;= \sigma^2 + \sigma^2 + ... + \sigma^2=t\sigma^2\,,$

и мы можем видеть, что $t\sigma^2$ возрастает линейно с $t$ .

Среднее значение равно нулю в каждый момент времени; если вы смоделировали серию много раз и усреднили по сериям за заданное время, это бы в среднем составило около 0

$\quad^{\text{Figure: 500 simulated random walks with sample mean in white and }}$
$\quad^{ \pm \text{ one standard deviation in red. Standard deviation increases with } \sqrt{t}\,.}$

Вот способ представить это. Чтобы упростить ситуацию, давайте заменим ваш белый шум на бросок монеты e $e_i$$e_i$

это просто упрощает визуализацию, в переключателе нет ничего фундаментального, кроме как ослабить нагрузку на наше воображение.

Теперь предположим, что вы собрали армию ласты монет. Их инструкция состоит в том, чтобы, по вашей команде, подбросить свою монету и вести рабочий подсчет результатов, а также суммировать все их предыдущие результаты. Каждый отдельный флиппер - это случайная прогулка

и агрегирование по всей вашей армии должно дать вам представление об ожидаемом поведении.

flip 1$W$$1$$-1$$2$

flip 2$W$$HH$$TT$$W$$2$$-2$$4$

...

flip n$W$$HH \cdots H$$TT \cdots T$$n$$n$$2n$

Итак, вот что вы можете увидеть из этого мысленного эксперимента:

• Ожидаемая прогулка равна нулю, поскольку каждый шаг в прогулке сбалансирован.
• Общий диапазон ходьбы растет линейно с продолжительностью прогулки.

Чтобы восстановить интуицию, нам пришлось отбросить стандартное отклонение и использовать в интуитивном измерении диапазон.

Это как-то связано с не «чистой» случайностью, поскольку новая позиция очень коррелирует с предыдущей?

Похоже, что под «чистым» вы подразумеваете независимость . При случайной ходьбе только шаги случайны и не зависят друг от друга. Как вы заметили, «позиции» являются случайными, но коррелированными , то есть не независимыми .

$E[Y_t]=0$$Y_t$$Y_t$

$Y_t=Y_0+\sum_{i=0}^t\varepsilon_t$

$Y_t-Y_{t-1}=\mu+\varepsilon_t$$Y_t$$\mu t$

Давайте возьмем другой пример для интуитивного объяснения: метание дротиков в дартс. У нас есть игрок, который пытается нацелиться на яблочко, которое мы считаем координатой 0. Игрок бросает несколько раз, и, действительно, среднее число его бросков равно 0, но он не очень хорош, поэтому разница составляет 20 см.

Мы просим игрока бросить один новый дротик. Вы ожидаете, что это поразит яблочко?

Нет. Хотя среднее значение точно яблочко, когда мы выбираем бросок, вполне вероятно, что это не яблочко.

$t$

Однако, если мы возьмем много сэмплов, мы увидим, что они центрируются около 0. Так же, как наш игрок в дартс почти никогда не попадет в яблочко (большая дисперсия), но если он бросает много дротиков, он будет центрировать их вокруг яблочка (среднее).

Если мы продлим этот пример до случайного блуждания, мы увидим, что дисперсия увеличивается со временем, даже если среднее значение остается на 0. В случае случайного блуждания кажется странным, что среднее значение остается на 0, даже если вы интуитивно знаете, что это почти никогда не заканчивается точно в начале координат. Тем не менее, то же самое относится и к нашему дротику: мы видим, что любой дротик почти никогда не попадет в яблочко с растущей дисперсией, и все же дротики образуют красивое облако вокруг яблочка - среднее значение остается тем же: 0.

Вот еще один способ понять, что дисперсия линейно возрастает со временем.

$.1\%$$1.2\%$$X$$365X$

$.1\%$$\pm .05\%$$1.2\%$$\pm .6\%$

Что ж, если мы интуитивно думаем о дисперсии как о диапазоне, то становится понятным, что дисперсия увеличивается так же, как и возврат во времени, то есть линейно.