Интервал прогнозирования для модели смешанных эффектов lmer () в R

Я хочу получить интервал прогнозирования вокруг прогноза из модели lmer (). Я нашел некоторое обсуждение по этому поводу:

http://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/24365_2803ab8299934e888a60e7b16113f619.html

http://glmm.wikidot.com/faq

но они, похоже, не учитывают неопределенность случайных эффектов.

Вот конкретный пример. Я гоняю золотую рыбку. У меня есть данные о последних 100 гонках. Я хочу предсказать 101-й, принимая во внимание неопределенность моих оценок RE и оценок FE. Я включил случайный перехват для рыбы (есть 10 различных рыб) и фиксированный эффект для веса (менее тяжелая рыба быстрее).

library("lme4")

fish <- as.factor(rep(letters[1:10], each=100))
race <- as.factor(rep(900:999, 10))
oz <- round(1 + rnorm(1000)/10, 3)
sec <- 9 + rep(1:10, rep(100,10))/10 + oz + rnorm(1000)/10

fishDat <- data.frame(fishID = fish, 
      raceID = race, fishWt = oz, time = sec)
head(fishDat)
plot(fishDat$fishID, fishDat$time)

lme1 <- lmer(time ~ fishWt + (1 | fishID), data=fishDat)
summary(lme1)

Теперь прогнозируем 101-ю гонку. Рыба была взвешена и готова к отправке:

newDat <- data.frame(fishID = letters[1:10], 
    raceID = rep(1000, 10),
    fishWt = 1 + round(rnorm(10)/10, 3))
newDat$pred <- predict(lme1, newDat)
newDat

   fishID raceID fishWt     pred
1       a   1000  1.073 10.15348
2       b   1000  1.001 10.20107
3       c   1000  0.945 10.25978
4       d   1000  1.110 10.51753
5       e   1000  0.910 10.41511
6       f   1000  0.848 10.44547
7       g   1000  0.991 10.68678
8       h   1000  0.737 10.56929
9       i   1000  0.993 10.89564
10      j   1000  0.649 10.65480

Рыба D действительно отпустила себя (1,11 унции) и, по прогнозам, проиграет Рыбе E и Рыбе F, с которыми он был лучше, чем в прошлом. Однако теперь я хочу сказать: «Рыба E (весом 0,91 унции) с вероятностью p победит Рыбу D (весом 1,11 унции)». Есть ли способ сделать такое заявление, используя lme4? Я хочу, чтобы моя вероятность p учитывала мою неопределенность как фиксированного эффекта, так и случайного эффекта.

Благодарность!

PS, глядя на predict.merModдокументацию, он предлагает «Нет никакой возможности для вычисления стандартных ошибок прогнозов, потому что трудно определить эффективный метод, который включает неопределенность в параметрах отклонения; мы рекомендуем bootMerдля этой задачи», но, черт возьми, я не вижу как использовать, bootMerчтобы сделать это. Похоже bootMer, будет использоваться для получения доверительных интервалов для оценки параметров, но я могу ошибаться.

ОБНОВЛЕНО Q:

ОК, я думаю, что задавал неправильный вопрос. Я хочу иметь возможность сказать: «У рыбы А весом в унцию будет время гонки, которое (lcl, ucl) составляет 90% времени».

В примере, который я выложил, у рыбы А весом 1,0 унции будет время гонки в 9 + 0.1 + 1 = 10.1 secсреднем со стандартным отклонением 0,1. Таким образом, его наблюдаемое время гонки будет между

x <- rnorm(mean = 10.1, sd = 0.1, n=10000)
quantile(x, c(0.05,0.50,0.95))
       5%       50%       95% 
 9.938541 10.100032 10.261243 

90% времени Я хочу функцию прогнозирования, которая пытается дать мне этот ответ. Установка олл- fishWt = 1.0ин newDat, повторный запуск сима и использование (как предложено Беном Болкером ниже)

predFun <- function(fit) {
  predict(fit,newDat)
}
bb <- bootMer(lme1,nsim=1000,FUN=predFun, use.u = FALSE)
predMat <- bb$t

дает

> quantile(predMat[,1], c(0.05,0.50,0.95))
      5%      50%      95% 
10.01362 10.55646 11.05462 

Это, кажется, на самом деле сосредоточено вокруг среднего населения? Как будто он не учитывает эффект FishID? Я подумал, что, возможно, это проблема размера выборки, но когда я увеличил количество наблюдаемых гонок со 100 до 10000, я все равно получил похожие результаты.

Я отмечу bootMerиспользование use.u=FALSEпо умолчанию. С другой стороны, используя

bb <- bootMer(lme1,nsim=1000,FUN=predFun, use.u = TRUE)

дает

> quantile(predMat[,1], c(0.05,0.50,0.95))
      5%      50%      95% 
10.09970 10.10128 10.10270 

Этот интервал слишком узок и может показаться доверительным интервалом для среднего времени рыбы А. Мне нужен доверительный интервал для наблюдаемого времени гонки Рыбы А, а не его среднего времени гонки. Как я могу получить это?

ОБНОВЛЕНИЕ 2, ПОЧТИ:

Я думал, что нашел то, что искал, в Gelman and Hill (2007) , стр. 273. Нужно использовать armпакет.

library("arm")

Для рыбы А:

x.tilde <- 1    #observed fishWt for new race
sigma.y.hat <- sigma.hat(lme1)$sigma$data        #get uncertainty estimate of our model
coef.hat <- as.matrix(coef(lme1)$fishID)[1,]    #get intercept (random) and fishWt (fixed) parameter estimates
y.tilde <- rnorm(1000, coef.hat %*% c(1, x.tilde), sigma.y.hat) #simulate
quantile (y.tilde, c(.05, .5, .95))

  5%       50%       95% 
 9.930695 10.100209 10.263551 

Для всех рыб:

x.tilde <- rep(1,10)  #assume all fish weight 1 oz
#x.tilde <- 1 + rnorm(10)/10  #alternatively, draw random weights as in original example
sigma.y.hat <- sigma.hat(lme1)$sigma$data
coef.hat <- as.matrix(coef(lme1)$fishID)
y.tilde <- matrix(rnorm(1000, coef.hat %*% matrix(c(rep(1,10), x.tilde), nrow = 2 , byrow = TRUE), sigma.y.hat), ncol = 10, byrow = TRUE)
quantile (y.tilde[,1], c(.05, .5, .95))
       5%       50%       95% 
 9.937138 10.102627 10.234616 

На самом деле, это, вероятно, не совсем то, что я хочу. Я только принимаю во внимание общую неопределенность модели. В ситуации, когда у меня, скажем, 5 наблюдаемых гонок для рыбы K и 1000 наблюдаемых гонок для рыбы L, я думаю, что неопределенность, связанная с моим прогнозом для рыбы K, должна быть намного больше, чем неопределенность, связанная с моим прогнозом для рыбы L.

Посмотрим дальше на Gelman and Hill 2007. Я чувствую, что в итоге мне может понадобиться переключиться на BUGS (или Stan).

ОБНОВЛЕНИЕ 3-го:

Возможно, я плохо концептуализирую вещи. Использование predictInterval()функции, данной Джаредом Ноулзом в ответе ниже, дает интервалы, которые не совсем то, что я ожидаю ...

library("lattice")
library("lme4")
library("ggplot2")

fish <- c(rep(letters[1:10], each = 100), rep("k", 995), rep("l", 5))
oz <- round(1 + rnorm(2000)/10, 3)
sec <- 9 + c(rep(1:10, each = 100)/10,rep(1.1, 995), rep(1.2, 5)) + oz + rnorm(2000)

fishDat <- data.frame(fishID = fish, fishWt = oz, time = sec)
dim(fishDat)
head(fishDat)
plot(fishDat$fishID, fishDat$time)

lme1 <- lmer(time ~ fishWt + (1 | fishID), data=fishDat)
summary(lme1)
dotplot(ranef(lme1, condVar = TRUE))

Я добавил две новые рыбы. Fish K, для которого мы наблюдали 995 гонок, и Fish L, для которого мы наблюдали 5 гонок. Мы наблюдали 100 гонок за рыбой AJ. Я подхожу так же, lmer()как и раньше. Глядя на dotplot()из latticeпакета:

По умолчанию dotplot()случайные эффекты переупорядочиваются по их точечной оценке. Оценка для Рыбы L находится в верхней строке и имеет очень широкий доверительный интервал. Рыба K находится на третьей строчке и имеет очень узкий доверительный интервал. Это имеет смысл для меня. У нас есть много данных о Fish K, но не много данных о Fish L, поэтому мы более уверены в наших предположениях об истинной скорости плавания Fish K. Теперь, я думаю, это приведет к узкому интервалу предсказания для Рыбы K и широкому интервалу предсказания для Рыбы L при использовании predictInterval(). Howeva:

newDat <- data.frame(fishID = letters[1:12],
                     fishWt = 1)

preds <- predictInterval(lme1, newdata = newDat, n.sims = 999)
preds
ggplot(aes(x=letters[1:12], y=fit, ymin=lwr, ymax=upr), data=preds) +
  geom_point() + 
  geom_linerange() +
  labs(x="Index", y="Prediction w/ 95% PI") + theme_bw()

Все эти интервалы прогнозирования кажутся одинаковыми по ширине. Почему наш прогноз для Fish K уже, чем другие? Почему наш прогноз для Fish L не шире, чем у других?

Этот вопрос и отличный обмен послужили толчком для создания predictIntervalфункции в merToolsпакете. bootMerэто путь, но для некоторых проблем не представляется возможным в вычислительном отношении сгенерировать начальные модификации всей модели (в случаях, когда модель велика).

В этих случаях predictIntervalпредназначен для использования arm::simфункций для генерации распределений параметров в модели, а затем для использования этих распределений для генерации смоделированных значений отклика с учетом newdataпредоставленных пользователем. Он прост в использовании - все, что вам нужно сделать, это:

library(merTools)
preds <- predictInterval(lme1, newdata = newDat, n.sims = 999)

Можно указать целый ряд других значений, в predictIntervalтом числе установить интервал для интервалов прогнозирования, выбрать, сообщать ли среднее значение или медиану распределения, и выбрать, включать ли остаточную дисперсию из модели.

Это не полный интервал прогнозирования, потому что изменчивость thetaпараметров в lmerобъекте не учитывается, но все остальные вариации фиксируются с помощью этого метода, давая довольно приличное приближение.

Сделайте это, bootMerсгенерировав набор прогнозов для каждой параметрической копии начальной загрузки:

predFun <- function(fit) {
    predict(fit,newDat)
}
bb <- bootMer(lme1,nsim=200,FUN=predFun,seed=101)

Вывод bootMerнаходится в не очень прозрачном "boot"объекте, но мы можем получить необработанные прогнозы из $tкомпонента.

Сколько времени Fish E побеждает Fish D?

predMat <- bb$t
dim(predMat) ## 200 rows (PB reps) x 10 (predictions)

Время рыбы Е в столбце 5, время рыбы D в столбце 4, поэтому нам просто нужно знать, какая доля в столбце 5 меньше столбца 4:

mean(predMat[,5]<predMat[,4])  ## 0.57