Выбор столбца не имеет значения: результирующее распределение по специальным ортогональным матрицам по-прежнему равномерно.SO ( n )
Я объясню это с помощью аргумента, который очевидным образом распространяется на многие связанные вопросы о равномерной генерации элементов групп. Каждый шаг этого аргумента является тривиальным, не требующим ничего, кроме ссылки на подходящие определения или простого вычисления (например, отметив, что матрица является ортогональной и самообратной).я1
Аргумент является обобщением знакомой ситуации. Рассмотрим задачу рисования положительных действительных чисел в соответствии с заданным непрерывным распределением . Это можно сделать, нарисовав любое действительное число из непрерывного распределения G и отрицая результат, если необходимо, чтобы гарантировать положительное значение (почти наверняка). Чтобы этот процесс имел распределение F , G должен обладать свойствомFгFг
G ( x ) - G ( - x ) = F( Х ) .
Самый простой способ для достижения этой цели , когда является симметричным вокруг 0 , так что G ( х ) - 1 / 2 = 1 /г0 , влекущиесобой F ( х ) = 2 G ( х ) - 1 : все положительные плотности вероятностей просто удваиваются, и все отрицательные результаты устраняются. Знакомая связь между полунормальным распределением ( F ) и нормальным распределением ( GG ( х ) - 1 / 2 = 1 / 2 - О ( - х )F( х ) = 2 G ( х ) - 1Fг) такого рода.
В дальнейшем группа играет роль ненулевых действительных чисел (рассматриваемых как мультипликативная группа) и ее подгруппы S O ( n ).O ( n )SO ( n ) играет роль положительных действительных чисел . Мера Хаара d x / x инвариантна относительно отрицания, поэтому, когда она «свернута» из R - { 0 } в R +р+dх / хR -{0}р+распределение положительных значений не меняется. (Эту меру, к сожалению, нельзя нормировать на меру вероятности, но это единственный способ, с помощью которого можно провести аналогию).
Отрицание определенного столбца ортогональной матрицы (когда его детерминант отрицательный) является аналогом отрицания действительного отрицательного числа, чтобы сложить его в положительную подгруппу. В более общем случае вы можете заранее выбрать любую ортогональную матрицу отрицательного определителя и использовать ее вместо I 1 : результаты будут такими же.Jя1
Хотя вопрос сформулирован в терминах генерации случайных величин, он действительно задает вопрос о распределении вероятностей по группам матриц и S O ( n , R ) = S O ( n ) . Связь между этими группами описывается в терминах ортогональной матрицыO ( n , R ) = O ( n )SO(n,R)=SO(n)
I1=⎛⎝⎜⎜⎜⎜−10⋮001⋮000⋮0…………0001⎞⎠⎟⎟⎟⎟
потому что отрицание первого столбца ортогональной матрицы означает умножение вправо X наXX . Обратите внимание, чтоSO(n)⊂O(n)иO(n)является дизъюнктным объединениемI1SO(n)⊂O(n)O(n)
O(n)=SO(n)∪SO(n)I−11.
Дано пространство вероятностей определенное на O ( n ) , процесс, описанный в вопросе, определяет карту(O(n),S,P)O(n)
f:O(n)→SO(n)
установив
f(X)=X
когда иX∈SO(n)
f(X)=XI1
для .X∈SO(n)I1−1
Вопрос касается генерации случайных элементов в путем получения случайных элементов ω ∈ O ( n ) : то есть путем «толкания их вперед» через f, чтобы получить f ∗ ω = f ( ω ) ∈ S O ( н ) . Pushforward создает вероятностное пространство ( S OSO(n)ω∈O(n)ff∗ω = f( ω ) ∈ SO ( n ) с( SO ( n ) , S', P')
S'= ф*S ={F( E)|Е⊂ S }
а также
п'( E) = ( е*P )(E) = P ( f- 1( E) ) = P ( E∪ Eя1)
для всех .Е⊂ S'
я1Е∩ Eя1= ∅Е∈ S'
п'( E) = P ( E∪ Eя- 11) = P ( E) + P ( Eя- 11)=2P(E).
пO ( n )я1я1п'