Как использовать дельта-метод для стандартных ошибок предельных эффектов?

Меня интересует лучшее понимание дельта-метода для аппроксимации стандартных ошибок средних предельных эффектов регрессионной модели, включающей термин взаимодействия. Я посмотрел на связанные вопросы в рамках дельта-метода, но ни один из них не дал того, что я ищу.

Рассмотрим следующие данные в качестве мотивирующего примера:

set.seed(1)
x1 <- rnorm(100)
x2 <- rbinom(100,1,.5)
y <- x1 + x2 + x1*x2 + rnorm(100)
m <- lm(y ~ x1*x2)

Меня интересуют средние предельные эффекты (AMEs) x1и x2. Чтобы вычислить их, я просто делаю следующее:

cf <- summary(m)$coef
me_x1 <- cf['x1',1] + cf['x1:x2',1]*x2 # MEs of x1 given x2
me_x2 <- cf['x2',1] + cf['x1:x2',1]*x1 # MEs of x2 given x1
mean(me_x1) # AME of x1
mean(me_x2) # AME of x2

Но как я могу использовать дельта-метод для расчета стандартных ошибок этих AME?

Я могу рассчитать SE для этого конкретного взаимодействия вручную:

v <- vcov(m)
sqrt(v['x1','x1'] + (mean(x2)^2)*v['x1:x2','x1:x2'] + 2*mean(x2)*v['x1','x1:x2'])

Но я не понимаю, как использовать дельта-метод.

В идеале я ищу некоторые рекомендации о том, как думать (и кодировать) дельта-метод для AME любой модели произвольной регрессии. Например, этот вопрос предоставляет формулу для SE для конкретного эффекта взаимодействия, а в этом документе от Мэтта Голдера приводятся формулы для различных интерактивных моделей, но я хочу лучше понять общую процедуру вычисления SE для AME, а не формулу для SE любого конкретного AME.

Дельта-метод просто говорит, что если вы можете представить вспомогательную переменную, которую вы можете представить как функцию от нормально распределенных случайных величин, эта вспомогательная переменная приблизительно нормально распределена с дисперсией, соответствующей степени изменения вспомогательной функции по отношению к нормальным переменным (РЕДАКТИРОВАТЬ: как отметил Алекос Пападопулос, дельта-метод может быть сформулирован более широко, так что он не требует асимптотической нормальности). Проще всего думать об этом как о разложении Тейлора, где первый член функции является средним, а дисперсия исходит из членов второго порядка. В частности, если - функция параметра β, а b - согласованная, нормально распределенная оценка для этого параметра: g $g$$\beta$$b$ Поскольку β - постоянная величина, а b - непротиворечивая оценка для β , мы можем тогда сказать:

$$g(b) \approx g(\beta) + \nabla g(\beta)^\prime (b - \beta)$$ $\beta$$b$$\beta$ В этом случае, б ваши МНКОВ оценки, и г является АМОЙ. Вы можете написать этот конкретный AME как: g ( b 1 , b 2 ) = b 1 + b 2  среднее ( x 2 ), если вы взяли градиент этой функции (помните, что функциякоэффициентовне $$\sqrt{n}\left(g(b)-g(\beta)\right)\,\xrightarrow{D}\,N\left(0, \nabla g(\beta)^\prime \cdot \Sigma_b \cdot \nabla g(\beta)\right)$$ $b$$g$ $$g(b_1,b_2)=b_1+b_2 \text{ mean}(x_2)$$ ), это будет: [ 1 $x_2$ и матрица дисперсии-ковариации для b может быть: [ s 11 s 12 s 12 s 22 ] Включение этого в формулу дисперсии и выполнение некоторой матричной алгебры дает вам то же выражение, которое вы хотели. $$[1,\,\, \text{mean}(x_2)]^\prime$$ $b$ $$\left[ \begin{matrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{12} & s_{22} \end{matrix}\right]$$

$g$RnumDeriv

ADDENDUM: в этом конкретном случае Rкод будет:

v <- vcov(m)

# Define function of coefficients. Note all coefficients are included so it 
# will match dimensions of regression coefficients, this could be done more 
# elegantly in principle
g <- function(b){
    return(b[2] + b[4] * mean(x2))
}

require(numDeriv) # Load numerical derivative package

grad_g <-  jacobian(g, m$coef) # Jacobian gives dimensions, otherwise same as
                               # gradient 

sqrt(grad_g%*% v %*% t(grad_g)) # Should be exactly the same 

$g$