В чем разница между вейвлет-преобразованием Габора-Морле и преобразованием постоянной Q?

На первый взгляд, преобразование Фурье с постоянным Q и комплексное вейвлет- преобразование Габора-Морле кажутся одинаковыми. Оба являются частотно-временными представлениями, основанными на фильтрах с постоянными Q, оконными синусоидами и т. Д. Но, может быть, я пропускаю разницу?

Constant-Q Transform Toolbox для обработки музыки говорит:

CQT относится к частотно-временному представлению, в котором частотные элементы имеют геометрическое разнесение, а добротность (отношение центральных частот к ширине полосы) всех элементов одинакова.

Временной анализ говорит:

То есть, вычисления НВП сигнала с использованием вейвлет Морле является такой же , как прохождение сигнала через ряд полосовых фильтров с центром в точке $f = \frac{5/2\pi}{a}$ с постоянной добротностью $5/2\pi$ .

— эндолиты
источник

Ответы:

Проще говоря, и const-Q-преобразование, и вейвлет-преобразование Габора-Морле - это просто непрерывные вейвлет-преобразования. Или, точнее, их приближения, поскольку в реальных приложениях всегда будут проблемы дискретизации.

Свойство вейвлет-преобразований заключается в том, что они имеют свойство постоянного Q-фактора или, другими словами, логарифмическое масштабирование. Gabor и Morlet - это всего лишь два имени конкретной вейвлет-функции (сложные экспоненты с гауссовым окном), которая используется чаще всего. CQ-преобразование просто использует другую базовую функцию / вейвлет и имеет специальное имя, прикрепленное к нему, возможно, по какой-то исторической причине.

— Андре Бергнер
источник

Важно отметить, что различные разработанные вейвлеты предлагают разное разложение сигналов, которые они используют для изучения. Конкретные вейвлеты выбираются так, чтобы выявить специфические особенности сигнала определенным образом. Когда вы вычисляете коэффициенты вейвлета, вы выполняете корреляцию выбранного вейвлета с сигналом интереса; таким образом, форма вейвлета определяет форму обнаруженных особенностей сигнала.

Некоторые вейвлет-функции были «разработаны» для предоставления разложений, которые могут относиться к разложениям Фурье (на самом деле больше соответствуют краткосрочным разложениям Фурье, используемым для получения спектрограмм сигналов). Вейвлет Морле является хорошим примером такой вейвлет-функции. Другие вейвлеты были «разработаны» для выявления разрывов или краев сигналов. Я видел документы, которые используют функции Daubechies Wevelet для этого.

Может быть полезно провести некоторое исследование, чтобы увидеть, как каждая из упомянутых вами вейвлет-функций используется на практике. Я думаю, что это даст вам лучшее понимание того, как разные вейвлеты отличаются.

— user2718
источник

Вопрос, в частности, касается только вейвлета Морле и того, как он связан с преобразованием постоянной Q, которое также является типом разложения Фурье. Есть ли какая-то разница между ними или они заново изобретают одно и то же? Я также нашел «алгоритм с фиксированной точкой на октаву (FPPO)», который «использует временное окно измерения, которое изменяется в зависимости от частоты, используя длинное временное окно на низких частотах (для узкого частотного разрешения) и последовательно короче окно времени на высоких частотах» rationalacoustics.com/files/FFT_Fundamentals.pdf

— эндолиты

Я разместил конкретный комментарий по этому вопросу. Мой другой пост был призван побудить автора понять, как вейвлет-преобразования уникальны и почему имеет смысл разрабатывать преобразования, основанные на различных вейвлет-функциях.

— user2718

«Есть ли разница между ними, или они заново изобретают одно и то же?» Они разные. Основа методов Фурье основана на синусовых функциях и не имеет временного разрешения. Оконные версии преобразования Фурье подходят к тому, что делается с помощью вейвлетов. Вейвлет-преобразования основаны на компактно поддерживаемых базовых функциях, и преобразование является представлением времени / масштаба, а не представлением времени / частоты. Некоторые вейвлет-функции имитируют методы Фурье, но это не является обязательным требованием.

— user2718

Постоянное Q-преобразование не является вейвлет-преобразованием. Постоянное Q-преобразование представляет собой конкретный вариант краткосрочного преобразования Фурье, в котором частотные бины экспоненциально разнесены, а не разнесены линейно, как в случае с дискретным преобразованием Фурье.

Смотрите: http://en.wikipedia.org/wiki/Constant_Q_transform для деталей.

Некоторые вейвлет-преобразования также считаются постоянными Q-преобразованиями, потому что в дискретных версиях преобразований масштаб вейвлета изменяется экспоненциально (в данном случае основание равно 2). Согласно следующей статье из Стэнфордского университета ( https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Continuous_Wavelet_Transform.html ):

Когда материнский вейвлет можно интерпретировать как оконную синусоиду (такую как вейвлет Морле), вейвлет-преобразование можно интерпретировать как преобразование Фурье с постоянным Q.12.5. До теории вейвлетов, преобразования Фурье с постоянным Q (например, полученные из классический банк фильтров третьей октавы) было непросто инвертировать, поскольку базовые сигналы не были ортогональными. См. Приложение E для соответствующего обсуждения.

— user2718
источник

«Постоянное Q-преобразование не является вейвлет-преобразованием». Как же так?

— эндолит

Это, вероятно, небольшая проблема семантики, но «постоянное Q-преобразование» развилось из краткосрочного преобразования Фурье, поэтому в анализе не используется вейвлет-функция. Он аналогичен вейвлет-анализу в том, что частотные интервалы разнесены экспоненциально. Вейвлет-преобразования специально не имеют дело с частотой. Вейвлет-преобразования имеют дело только с масштабом. Комбинация масштаба и вейвлет-функции может быть связана с частотой, но эти две вещи не одинаковы.

— user2718

Из того, что я прочитал, вейвлет Габора-Морле был первым непрерывным вейвлет-преобразованием и был сфокусирован на частоте, а не на масштабе, поскольку он был получен из преобразования Габора, которое является оконным преобразованием Фурье. Не обращая внимания на семантические различия, есть ли разница в способах вычисления CQT и Morlet WT?

— эндолит

Разве это не математически эквивалентно, если предположить, что оконная функция одинакова, а вейвлет составлен из комплексной экспоненты?

— эндолит

Я думаю, что вы можете организовать оконное преобразование Фурье, которое эквивалентно вейвлет-преобразованию. Как правило, при применении постоянного Q-преобразования оконная функция не выбирается для обеспечения условий допустимости, требуемых для вейвлетов, поэтому в общем случае постоянное Q-преобразование отличается от вейвлет-преобразования. Условия допустимости для вейвлетов обеспечивают обратимость анализа (т. Е. Вы можете восстановить свой сигнал времени по результатам преобразования), что в общем случае неверно для преобразования с постоянным Q.

— user2718