Периодическое граничное условие для уравнения теплопроводности в] 0,1 [

Давайте рассмотрим гладкое начальное условие и уравнение теплопроводности в одном измерении: в открытом интервале и предположим, что мы хотим решить его численно с конечными разностями.

$$\partial_t u = \partial_{xx} u$$ $]0,1[$

Я знаю, что для того, чтобы моя задача была правильно поставлена, мне нужно наделить ее граничными условиями при и . Я знаю, что Дирихле или Нейман работают хорошо.$x=0$$x=1$

Если у меня в первом случае внутренних точек для , то у меня есть неизвестных: для k = 1, \ cdots, N , потому что u прописан на границах.$N$ k=1,⋯,NNuk=u(x$x_k=\frac{k}{N+1}$$k=1,\cdots,N$$N$$u_k=u(x_k)$$k=1,\cdots,N$$u$

Во втором случае у меня действительно есть $N+2$ неизвестных $u_0,\cdots,u_{N+1}$ , и я знаю, как использовать (однородный) Нейман до н.э. для дискретизации лапласиана на границе, например, с добавлением двух фиктивные точки $x_{-1}$ и $x_{N+2}$ и равенства:

$$\frac{u_1-u_{-1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N+2}-u_N}{2 h}$$

Мой вопрос о периодической до нашей эры. У меня есть ощущение, что я мог бы использовать одно уравнение, а именно но, может быть, два, и тогда я бы использовал ∂ x u (

$$u(0) = u(1)$$ $$\partial_x u(0) = \partial_x u(1)$$

но я не уверен. Я тоже не знаю, сколько неизвестных мне нужно иметь. Это ?$N+1$

Лучший способ сделать это - (как вы сказали) просто использовать определение периодических граничных условий и правильно настроить ваши уравнения с самого начала, используя тот факт, что . Фактически, еще сильнее периодические граничные условия отождествляют x = 0 с x = 1 . По этой причине у вас должна быть только одна из этих точек в вашем домене решений. Открытый интервал не имеет смысла при использовании периодических граничных условий, так как нет границы .$u(0)=u(1)$$x=0$$x=1$

Этот факт означает, что вам не следует помещать точку в поскольку она совпадает с x = 0 . Дискретизируя с N + 1 точками, вы затем используете тот факт, что по определению точка слева от x 0 равна x N, а точка справа от x N равна x 0 .$x=1$$x=0$$N+1$$x_0$ $x_N$$x_N$ $x_0$

Ваш PDE может быть затем дискретизирован в пространстве как

$$\frac{\partial}{\partial t} \left[\begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_N \end{array}\right] = \frac{1}{\Delta x^2} \left[\begin{array}{c} x_N - 2x_0 + x_1 \\ x_0 - 2x_1 + x_2 \\ \vdots \\ x_{N-1} - 2x_N + x_0 \end{array}\right]$$

Это можно записать в матричной форме как , где =[ - 2 1 0 ⋯ 0 1 1

$$\frac{\partial}{\partial t}\vec{x} = \frac{1}{\Delta x^2} \mathbf{A} \vec{x}$$ $$\mathbf{A} = \left[\begin{array}{c} -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ && \ddots & \ddots & \ddots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].$$

Конечно, нет необходимости создавать или хранить эту матрицу. Конечные различия должны быть вычислены на лету, обращаясь к первым и последним точкам, особенно по мере необходимости.

В качестве простого примера, следующие MATLAB скрипт решает с периодическими граничными условиями на области х ∈ [ - 1 , 1 ) . Изготовленный раствор u Ref ( t , x ) = exp ( - t ) cos ( 5 π

$$\partial_t u = \partial_{xx}u + b(t,x)$$ $x\in[-1,1)$ , что означает b ( t $u_\text{Ref}(t,x) = \exp(-t)\cos(5\pi x)$ . Я использовал прямую дискретизацию Эйлера по времени для простоты и вычислил решение как с матрицей, так и без нее. Результаты показаны ниже.$b(t,x) = (25\pi^2-1)\exp(-t)\cos(5\pi x)$

clear

% Solve: u_t = u_xx + b
% with periodic boundary conditions

% analytical solution:
uRef = @(t,x) exp(-t)*cos(5*pi*x);
b = @(t,x) (25*pi^2-1)*exp(-t)*cos(5*pi*x);

% grid
N = 30;
x(:,1) = linspace(-1,1,N+1);

% leave off 1 point so initial condition is periodic
% (doesn't have a duplicate point)
x(end) = [];
uWithMatrix = uRef(0,x);
uNoMatrix = uRef(0,x);

dx = diff(x(1:2));
dt = dx.^2/2;

%Iteration matrix:
e = ones(N,1);
A = spdiags([e -2*e e], -1:1, N, N);
A(N,1) = 1;
A(1,N) = 1;
A = A/dx^2;

%indices (left, center, right) for second order centered difference
iLeft = [numel(x), 1:numel(x)-1]';
iCenter = (1:numel(x))';
iRight = [2:numel(x), 1]';

%plot
figure(1)
clf
hold on
h0=plot(x,uRef(0,x),'k--','linewidth',2);
h1=plot(x,uWithMatrix);
h2=plot(x,uNoMatrix,'o');
ylim([-1.2, 1.2])
legend('Analytical solution','Matrix solution','Matrix-free solution')
ht = title(sprintf('Time t = %0.2f',0));
xlabel('x')
ylabel('u')
drawnow

for t = 0:dt:1
    uWithMatrix = uWithMatrix + dt*( A*uWithMatrix + b(t,x) );
    uNoMatrix = uNoMatrix + dt*(  ( uNoMatrix(iLeft) ...
                                - 2*uNoMatrix(iCenter) ...
                                  + uNoMatrix(iRight) )/dx^2 ...
                                + b(t,x) );
    set(h0,'ydata',uRef(t,x))
    set(h1,'ydata',uWithMatrix)
    set(h2,'ydata',uNoMatrix)
    set(ht,'String',sprintf('Time t = %0.2f',t))
    drawnow
end

В соответствии с этим вы должны наложить периодические граничные условия как:

$$\begin{equation} u(0, t) = u(1, t) \\ u_x(0, t) = u_x(1, t) \end{equation}$$

Одним из способов неявного выражения уравнения теплопроводности с использованием обратного Эйлера является

$$\begin{equation} \frac{u^{n+1}-u_{n}}{\Delta t}= \frac{u^{n+1}_{i+1}-2u^{n+1}_{i}+u^{n+1}_{i+1}}{\Delta x^2} \end{equation}$$

Решение системы уравнений

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_1 \\ \vdots \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u^n_1 \\ u^n_2 \\ \vdots \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$$

$$\begin{equation} A= \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & 1 & -2& 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1& -2 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 & -2 & \ldots & 0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots &\ddots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots &0 &1 &-2 \end{bmatrix} \end{equation}$$

Your periodic boundary conditions can be included by adding two more equations and two additional(ghost) cells $u_{0}$ and $u_{N+1}$ such that:

$$\begin{equation} u_1 - u_{N} = 0 \\ \frac{u_{2}-u_{0}}{2 \Delta x} - \frac{u_{N+1}-u_{N-1}}{2 \Delta x} = 0 \end{equation}$$

According to Section 2.11 LeVeque this gives you a 2nd order accuracy for $u_x$

Finally your system of equations will look like:

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 0 & -1 \\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_{0}\\ u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \\ u^{n+1}_{N+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ u^n_1 \\ u^n_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$$

Which gives you N+2 equations and N+2 unknowns.

You can also get rid of the first to equations and the ghost cells and arrive at a system of N equations and N unknowns.