Разборов доказал, что соответствие монотонной функции отсутствует в мП . Но можем ли мы вычислить соответствие, используя схему полиномиального размера с несколькими отрицаниями? Существует ли P / поли схема с $O(n^\epsilon)$ отрицаниями, которая вычисляет совпадение? Каков компромисс между числом отрицаний и размером для сопоставления?

Марков доказал, что любая функция из входов может быть вычислена только с ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ отрицаниями. Эффективная конструктивная версия была описана Фишером. Смотрите также экспозицию результата из блога GLL .$n$$\lceil \log (n+1)\rceil$

Точнее:

Теорема: Предположим, что вычисляется схемой C с g затворами, а затем вычисляется схемой C ∗ с 2 g + O ( n 2 log 2 n ) Гейтс и ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ отрицания.$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$$C$$g$$C^*$$2g + O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$

Основная идея состоит в том, чтобы добавить для каждого провода в C провод parellel w ′ в C ∗, который всегда несет дополнение w . Базовый случай для входных проводов: Фишер описывает , как построить схему инверсии I ( х ) = ¯ х с О ( п 2 лога 2 л ) ворота и только ⌈ лог ( п + 1 ) ⌉ отрицания. Для логических элементов И цепи С , мы можем дополнить$w$$C$$w'$$C^*$$w$$I(x) = \overline x$$O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$$C$ с a ′ = b ′ ∨ c ′ , а также для вентилей OR. Ворота NOT в C ничего не стоят, мы просто поменяемся ролями w и w ' ниже по потоку от шлюза NOT. Таким образом, вся схема, кроме подсхемы инвертора, является монотонной.$a = b \land c$$a' = b' \lor c'$$C$$w$$w'$

А.А. Марков. Об инверсионной сложности системы функций. J. ACM , 5 (4): 331–334, 1958.

М. Дж. Фишер. Сложность сетей с ограничением отрицания - краткий обзор. В теории автоматов и формальных языков , 71–82, 1975

Как вычислить инверсию бит, используя n отрицаний$2^n-1$$n$

Пусть биты отсортированы в порядке убывания, т.е. i < j означает x i ≥ x j . Этого можно достичь с помощью монотонной сортировочной сети, такой как сортировочная сеть Айтай-Комлос-Семереди.$x_0, \ldots, x_{2^n-1}$$i<j$$x_i \ge x_j$

Определим схему инверсии для битов I n ( → x ) индуктивно: для базового случая имеем n = 1 и I 1 0 ( → x ) : = ¬ x 0 . Пусть m = 2 n - 1 . Мы уменьшаем I n (для 2 m + 1 ) бит до одного I n - 1 вентиля (для $2^n-1$$I^n(\vec{x})$$n=1$$I^1_0(\vec{x}) := \lnot x_0$$m=2^{n-1}$$I^n$$2m+1$$I^{n-1}$$m$$\land$$\lor$$\lnot x_m$. For $i<m$ let $y_i := (x_i \land \lnot x_m) \lor x_{m+i}$. We use $I^{n-1}$ to invert $\vec{y}$. Now we can define $I^n$ as follows:

It is easy to verify this inverts $\vec{x}$ by considering the possible values of $x_n$ and using the fact that $\vec{x}$ is decreasing.

From Michael J. Fischer, The complexity of negation-limited networks - a brief survey, 1975.