Как судить о том, что определение вычислительной сложности вещественных чисел является естественным или подходящим?

Как мы знаем, определение вычислительной сложности алгоритма практически не вызывает противоречий, но определение вычислительной сложности вещественных чисел или моделей вычислений над действительными значениями не в таком случае. Мы знаем модель и модель Блюма и Смалеса в книге «Вычислительный анализ». И, похоже, модель в Computable Analysis соответствует классической модели, но определение вычислительной сложности вещественных чисел не может быть перенесено в классическую модель.

Как судить о том, что определение вычислительной сложности вещественных чисел является естественным или подходящим?

И как перевести определение вычислительной сложности вещественных в классическую модель?

Я не совсем уверен, что вопрос здесь, но я могу попытаться сказать немного, чтобы устранить возможные недоразумения.

Прежде всего, если мы говорим о сложности отображения , нет смысла спрашивать: «Что такое хорошее представление для $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ? «Вместо этого вы должны спросить« Что такое хорошее представление длявсехвходных данныхf? ». Сравните ситуацию с более простой в дискретной математике: когда вы обсуждаете алгоритм, который принимает граф в качестве входных данных, вы не спросите «Должны ли мы представлять граф Петерсена в виде списка смежности или в виде двоичной матрицы?», но вместо этого вы автоматически думаете оединомпредставлении, которое будет работать для всех графов.$\sqrt{2}$$f$

Еще одно предупреждение. Изменяя представление входных данных, мы всегда можем сделать любую задачу (включая невычислимую) тривиально вычисляемой: чтобы сделать вычислимой, представим элементы A в виде пар ( a , f ( a ) ) . Тогда вы можете «вычислить» f по второй проекции. Это показывает, что нам нужны четкие критерии того, что значит представлять данные.$f : A \to B$$A$$(a, f(a))$$f$

Я написал несколько раз о том, что он принимает , чтобы представлять элементы . Ответ зависит от того, что структура из R вы пытаетесь захватить. Если вы пытаетесь не захватывать структуру, вы можете, например, представить все реалы пустым списком. Разумный список условий для представления R состоит в том, что оно должно быть таким, чтобы:$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

1. Арифметические операции , × , - , / вычислимы, а также абсолютное значение | - | ,$+$$\times$$-$$/$$|{-}|$
2. Существует программа, которая принимает (представление) вещественного и k ∈ N и выводит целые числа p , q, такие что | x - p / q | ≤ 2 - k , т. Е. Можно вычислить сколь угодно хорошие рациональные приближения.$x$$k \in \mathbb{N}$$p, q$$|x - p/q| \leq 2^{-k}$
3. Существует программа, которая принимает (представления) вещественных значений и y и завершается тогда и только тогда, когда x < y , т. Е. Строгий порядок является полуразрешимым.$x$$y$$x < y$
4. Дана последовательность (представлений) такая, что | х н + 1 - х н | ≤ 2 - n представление для предела lim n x n может быть вычислено.$(x_n)_n$$|x_{n+1} - x_n| \leq 2^{-n}$$\lim_n x_n$

Существуют старые теоремы (см. Введение к этой статье для ссылок), которые объясняют, почему эти условия являются правильными. Эти теоремы также показывают, что любые два таких представления вещественных чисел вычислимо изоморфны, то есть мы можем переводить между ними с помощью программ. Это устанавливает некоторые критерии правильности, которые выбрасывают ошибочные идеи.

Например, я слышу, как люди говорят такие вещи, как «рациональные числа могут быть представлены конечной информацией, поэтому давайте использовать это для рациональных чисел, а иррациональные числа должны быть представлены бесконечной информацией». Подобные вещи не работают, потому что они нарушают четвертое условие выше (рассмотрим предел иррациональных чисел - как вы скажете, что оно сходится к рациональному?).

Другим примером, который исключают вышеуказанные условия, является модель Блюма-Шуб-Смейла, потому что в ней вы не можете вычислить пределы последовательностей. Лучше сказать, что модель BSS работает на дискретном упорядоченном подполе реалов (генерируемых какими-либо параметрами), а не на самих реалах.

Среди правильных представлений вещественных чисел некоторые более эффективны, чем другие, хотя это довольно трудная тема для обсуждения, поскольку действительные числа являются бесконечными объектами. Матиас Шредер отметил, что для разумной теории сложности следует обратить внимание на топологические свойства представления.

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$\mathbb{R}$$x \in \mathbb{R}$

Модель BSS также является разумной моделью сложности схемы, в которой мы считаем арифметические операции. Просто хорошо иметь в виду, что эта модель не о реальных числах, а о чем-то другом.

$<_{k}$$O(t)$$O(t)$$O(t)$$O(t^{2}log(t)log(log(t)))$, Как указывалось, топологические соображения полезны, никто не знает, существует ли какой-либо топологический контекст, разработанный для этой модели вычислений, который допускает реальные вычисления, которые имеют неопределенность в точности.