Фиксированные точки в вычислимости и логике

Этот вопрос также был размещен на Math.SE,

/math/1002540/fixed-points-in-computability-nd-logic

Я надеюсь, что это также хорошо, чтобы опубликовать это здесь. Если нет, или если это слишком просто для CS.SE, пожалуйста, сообщите мне, и я удалю его.

Я хотел бы лучше понять связь между теоремами о неподвижной точке в логике и -calculus. $\lambda$

Фон

1) Роль неподвижных точек в неполноте и неопределимости истины

Насколько я понимаю, помимо основной идеи интернализации логики, ключ к обеим доказательствам неопределимости Тарской истины и теорем о неполноте Гёделя является следующей теоремой логической фиксированной точки , живущей в конструктивной, finitistic метатеории (я надеюсь , что формулировка все в порядке, пожалуйста, исправьте меня, если что-то не так или неточно):

Наличие неподвижных точек в логике

Предположим, что - достаточно выразительная, рекурсивно перечислимая теория над языком , и пусть - кодировка -формул в , то есть алгоритм, преобразующий произвольные правильно сформированные -формулы в -формулы с одной свободной переменной , такой что для любого -формула у нас . ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}$ ${\mathcal L}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}(\varphi)(v)$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathscr T}\vdash \exists! v: {\mathbf C}(\varphi)(v)$

Тогда существует алгоритм превращающий правильно сформированные -формулы из одной свободной переменной в замкнутые правильно сформированные -формулы, такой, что для любой -формулы в у нас есть одна свободная переменная который, интерпретируя как определенный символ функции , также может быть записан более компактно как ${\mathbf Y}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ ${\mathcal L}$ $\phi$
$T ⊢ Y (φ) \Leftrightarrow \exists v : С (Y (φ)) (v) \land φ (v),$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \exists v: {\mathbf C}({\mathbf Y}(\phi))(v)\wedge \phi(v),$ ${\mathbf C}$ $\lceil -\rceil$ $T ⊢ Y (φ) \Leftrightarrow φ (⌈ Y (φ) ⌉),$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \phi(\lceil{\mathbf Y}(\phi)\rceil).$
Другими словами, является алгоритмом для построения неподвижных точек относительно -эквивалентности однопеременных -формул. ${\mathbf Y}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$

Это имеет как минимум два приложения:

Применяя его к предикату выражающему « кодирует предложение, которое, когда создается его собственное кодирование, не доказуемо». дает формализацию «Это предложение не доказуемо», которое лежит в основе аргумента Геделя. $\phi(v)$ $v$
Применение его к для произвольного предложения дает Тарски неопределимость истины. $\neg\phi$ $\phi$

2) Фиксированные точки в нетипизированном -calculus $\lambda$

В нетипизированном исчислении построение неподвижных точек важно для реализации рекурсивных функций. $\lambda$

Существование неподвижных точек в -calculus: $\lambda$

Существует комбинатор с фиксированной точкой , т. Е. -терм такой, что для любой -терм мы имеем $\lambda$ $Y$ $\lambda$ $f$
$е (Y е) ~_{α β} Y е,$ $f(Y f)\sim_{\alpha\beta} Yf.$

наблюдение

Что меня поразило, так это то, что комбинатор с фиксированной точкой в калькуляторе очень чисто и нетехническим образом отражает обычное доказательство логической теоремы о неподвижной точке: $\lambda f.(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$ $\lambda$

Очень грубо , учитывая формулу , рассматривают формализацию утверждения « кодирует предложение, которое, когда создается его экземпляр, удовлетворяет », и ставит . Предложение похоже на , а соответствует $\varphi$ $\varphi(v)$ $v$ $\phi$ ${\mathbf A}(\phi) := \varphi(\lceil\varphi\rceil)$ $\varphi(v)$ $\lambda x. f(x x)$ $\varphi(\lceil\varphi\rceil)$ . $(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$

Вопрос

Несмотря на быстро описанную идею, доказательство теоремы о фиксированной точке оказалось довольно техническим и трудным во всех деталях; Кунен делает это, например, в теореме 14.2 своей книги «Теория множеств». С другой стороны, комбинатор в калькуляторе очень прост, и его свойства легко проверяются. $Y$ $\lambda$

Строго ли вытекает теорема о неподвижной точке из логических комбинаторов с неподвижной точкой в вычислении? $\lambda$

Например, можно ли моделировать вычисление с помощью формул с точностью до логической эквивалентности, чтобы при интерпретации любого комбинатора с фиксированной точкой получался алгоритм, описанный в теореме о логической фиксированной точке? $\lambda$ ${\mathcal L}$

редактировать

Ввиду множества других примеров того же аргумента диагонализации, описанного в ответах Мартина и Коди, следует перефразировать вопрос:

Существует ли общее обобщение аргументов диагонализации в соответствии с принципом, выраженным в комбинаторе? $Y$
$λ е, (λ Икс, е (Икс Икс)) (λ Икс, е (Икс Икс))$ $\lambda f.(\lambda x. f(xx))(\lambda x.f(xx))$

Если я правильно понимаю, одно предложение - это теорема Лоувера о неподвижной точке , см. Ниже. К сожалению, однако, я не могу следовать соответствующим специализациям ни в одной из статей, которые Мартин цитировал в своем ответе, и я был бы рад, если бы кто-то мог их объяснить. Во-первых, для полноты:

Теорема Лавре о неподвижной точке

Пусть - категория с конечными произведениями и такая, что для любого морфизма в найдется некоторая такая, что для всех точек имеется ${\mathscr C}$ $\varphi: A\times A\to Y$ $f: A\to Y$ ${\mathscr C}$ $\lceil f\rceil: 1\to A$ $p: 1\to A$
$1 \overset{п}{\to} A \overset{е}{\to} Y знак равно 1 \overset{п}{\to} A \overset{⟨ ⌈ е ⌉, {Я бы}_{A} ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y,$ $1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\ f\ } Y\ \ =\ \ 1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\langle \lceil f\rceil,\text{id}_A\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$
Тогда для любого эндоморфизма , положив любой выбор приводит к фиксированной точке , а именно : $g: Y\to Y$
$е знак равно A \overset{Δ}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y \overset{грамм}{\to} Y,$ $f\ :=\ A\xrightarrow{\Delta} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y\xrightarrow{g} Y,$ $\lceil f\rceil$ $g$ $1 \overset{⟨ ⌈ е ⌉, ⌈ е ⌉ ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y,$ $1\xrightarrow{\langle\lceil f\rceil,\lceil f\rceil\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$

Это утверждение в (интуиционистской) теории первого порядка категорий с конечными произведениями и, следовательно, применимо к любой модели последнего.

Например , если взять теоретическую вселенную в качестве области дискурса, весь парадокс Рассела (возьмем гипотетический набор множеств, и - -предикат) и теорема Кантора (возьмем любое множество и соответствующее гипотетическому предположению $A$ $Y := \Omega := \{0,1\}$ $\rho: A\times A\to\Omega$ $\in$ $A$ $\rho: A\times A\to \Omega$ $A\to\Omega^A$ ). Далее, перевод доказательства теоремы Лаврера дает обычные диагональные рассуждения.

Более конкретная проблема:

Может ли кто-нибудь подробно объяснить применение теоремы Лаврера к частичным рекурсивным функциям или теоремы о неподвижной точке? В частности, какие категории нам нужно рассмотреть там?

В D. Pavlovic, О структуре парадоксов , автор считает категорию, свободно порожденную с частичными рекурсивными функциями. ${\mathbb N}$ ${\text{End}}({\mathbb N})$

К сожалению, я не понимаю, что это значит.

$\text{End}({\mathbb N})$ $A=Y={\mathbb N}$ ${\mathbb N}\to{\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ ${\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ тоже только частичная функция, следовательно, может быть неопределенной, теорема о неподвижной точке тривиальна.

Какую категорию вы действительно хотите рассмотреть?

Возможно, цель состоит в том, чтобы получить теорему Роджера о неподвижной точке, но тогда нужно как-то встроить кодирование частично рекурсивных функций натуральными числами в определение категории, и я не могу понять, как это сделать.

Я был бы очень рад, если бы кто-то мог объяснить конструкцию контекста, к которому применяется теорема Лаврэра о неподвижной точке, давая начало теореме о логической неподвижной точке или теореме о неподвижной точке для частично рекурсивных функций.

Спасибо!

lo.logic computability lambda-calculus

— Ханно Беккер
источник

Q

$Q$

λ

$\lambda$

@ EmilJeřábek: Спасибо за ваш комментарий! Я понимаю, что не будет никакого способа обойти кодирование рекурсивных функций, но я хотел бы четко отделить, что касается кодирования и что будет формальным впоследствии.

— Ханно Беккер,

λ

$\lambda$

Y

$Y$

φ

$\varphi$

N \to (N \to N)

$\mathbb{N}\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

(N \to N) \to (N \to N)

$(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

Y

$Y$

Коди, не мог бы ты уточнить, какую именно категорию ты используешь, потому что я не могу следить за другими источниками.

— Ханно Беккер

Я, вероятно, не отвечаю прямо на ваш вопрос, но есть общее математическое обобщение многих парадоксов, включая теоремы Геделя и Y-комбинатор. Я думаю, что это было впервые исследовано Lawvere. Смотрите также [2, 3].

Ф. В. Лавре, Диагональные аргументы и декартовы замкнутые категории .
Д. Павлович, О структуре парадоксов .
Янофский Н.С. Универсальный подход к самореференциальным парадоксам, неполноте и неподвижным точкам .

— Мартин Бергер
источник

{Lind}^{1} \times {Lind}^{1} \to {Lind}^{0}

$\text{Lind}^1\times\text{Lind}^1\to\text{Lind}^0$

@HannoBecker Это может быть довольно сложно и чувствительно к кодированию.

— Мартин Бергер

У меня нет полного ответа на ваш вопрос, но у меня есть это:

Согласно Википедии говорит

$Q(x, y)$ $p$
$φ_{п} ≃ λ Y, Q (п, Y)$ $\varphi_p\simeq \lambda y.Q(p, y)$ $\varphi$ $\mathbb{N}$

$\lambda$

$\phi$ ${\mathscr T}$ $n$
$T ⊢ φ (\bar{N}) \Leftrightarrow T ⊢ \exists Y, φ_{N} (Y) знак равно 0$ ${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n}) \Leftrightarrow {\mathscr T}\vdash \exists y, \varphi_n(y)=0$

Это не совсем то, что вы хотите, но уловка интернализации может дать вам более сильное утверждение

${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n})\leftrightarrow \exists y, \varphi_n(y) = 0$

Опять же, это не совсем логическая теорема о неподвижной точке, но она может служить той же цели.

$Q(x,y)$
$Q (Икс, Y) знак равно 0 тогда и только тогда T ⊢ φ (\bar{Икс}) самое большее Y меры$ $Q(x,y) = 0 \mbox{ iff }{\mathscr T}\vdash \phi(\overline{x})\mbox{ in at most $y$ steps}$ $Q$ $\exists y, Q(x, y)$ ${\mathscr T}$ $\phi(\overline{x})$ ${\mathscr T}\vdash\exists y,Q(\overline{x}, y)$ $\omega$ $Q$ $\square$

Немного подумав, вы, вероятно, сможете усилить этот аргумент, чтобы получить полную теорему напрямую без интернализации.

— Коди
источник

φ : N ≅ C (N, N)

$\varphi:{\mathbb N}\cong\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$

С (N^{2}, N) \to карта (N, С (N, N)) ≅ карта (N, N)

$\text{C}({\mathbb N}^2,{\mathbb N})\to\text{Map}({\mathbb N},\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N}))\cong\text{Map}({\mathbb N},{\mathbb N})$

C (N, N)

$\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$

N^{2} \to N

${\mathbb N}^2\to{\mathbb N}$

(n, m) \mapsto φ (n) (m)

$(n,m)\mapsto\varphi(n)(m)$

Y

$Y$

λ

$\lambda$

φ

$\varphi$

Y

$Y$

Y f ≃ f (Y f)

$Y\ f\simeq f(Y\ f)$

p := Y Q

$p:= Y\ Q$

λ

$\lambda$ quoteeval

Y

$Y$