Как в вычислениях указываются действительные числа?

27

Это может быть основной вопрос, но я читал и пытался понять статьи по таким темам, как вычисление равновесия по Нэшу и тестирование линейного вырождения, и не был уверен в том, как действительные числа указываются в качестве входных данных. Например, когда утверждается, что LDT имеет определенные полиномиальные нижние границы, как определяются действительные числа, когда они рассматриваются как входные данные?

— Филип Уайт
источник

1

Вы можете найти обсуждение здесь интересным: en.wikipedia.org/wiki/Computable_number

— Джозеф Малкевич

Кто-то должен собрать эти документы в бесплатную скачиваемую электронную книгу.

— Dilawar

34

Я не согласен с вашим принятым ответом Каве. Для линейного программирования и равновесий по Нэшу плавающая точка может быть приемлемой. Но числа с плавающей точкой и вычислительная геометрия очень плохо сочетаются: ошибка округления делает недействительными комбинаторные предположения алгоритмов, что часто приводит к их краху. Более конкретно, многие алгоритмы вычислительной геометрии зависят от примитивных тестов, которые проверяют, является ли данное значение положительным, отрицательным или нулевым. Если это значение очень близко к нулю и округление с плавающей точкой приводит к тому, что оно имеет неправильный знак, могут произойти плохие вещи.

Вместо этого часто предполагается, что входные данные имеют целочисленные координаты, а промежуточные результаты часто представлены точно, либо в виде рациональных чисел с достаточно высокой точностью, чтобы избежать переполнения, либо в виде алгебраических чисел. Аппроксимации с плавающей запятой к этим числам могут использоваться для ускорения вычислений, но только в тех случаях, когда можно гарантировать, что числа достаточно далеко от нуля, что тесты знаков дадут правильные ответы.

В большинстве теоретических работ по вычислительной геометрии эта проблема обходит стороной, предполагая, что входные данные являются точными действительными числами и что примитивы являются точными проверками знаков корней полиномов низкой степени во входных значениях. Но если вы реализуете геометрические алгоритмы, то все это становится очень важным.

— Дэвид Эппштейн
источник

Мне понравилась часть ответа Каве, где он предположил, что существуют альтернативные модели вычислений, поскольку это, похоже, соответствует тому, что я прочитал в статье, на которую я смотрел. Тем не менее, я действительно не знал ответ ... Я пока не принял ответ Каве. Я действительно подозревал, что алгебраические числа могут иметь к этому какое-то отношение. В любом случае, спасибо, что нашли время взвесить мой вопрос ... Я подумаю и прочту дальше, прежде чем принять ответ.

— Филипп Уайт

Я не говорил, что это хорошая модель для компьютерной графики, я хотел сказать, что даже когда авторы говорят, что входные данные являются действительными числами, они не являются действительными числами . Я согласен с вами, что я не должен был включать CG среди других. Я прочитал очень небольшое количество работ по компьютерной графике. Является ли модель BSS хорошо зарекомендовавшей себя в теоретических работах по компьютерной графике?

— Каве

1

Простите за мое невежество, но что означает BSS?

— Филипп Уайт

1

Модель BSS является теоретической моделью, которая предполагает наличие произвольных действительных чисел. То, что сделано в CG, включает в себя фактические реализации модели, которая обычно ограничена алгебраическими числами. Также реализации CG далеки от удельной стоимости за операцию. Так что это не одно и то же. См., Например, модель действительного числа LEDA, citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/…

— Дэвид Эппштейн

10

S

$S$

T

$T$

\sum_{s \in S} \sqrt{s} > \sum_{t \in T} \sqrt{t}

$\sum_{s\in S} \sqrt{s} > \sum_{t\in T}\sqrt{t}$

15

Вы также можете взглянуть на выступление Андрея Бауэра « Роль области интервалов в современной точной реальной арифметике» , в котором рассматриваются некоторые из различных подходов к определению вычислений над действительными числами как в теории, так и на практике.

— Ноам Цайлбергер
источник

8

Это не прямой ответ на ваш вопрос, а скорее ответ Рафаэлю . Недавно была проведена большая работа по определению вычислений действительных чисел с использованием коиндукции. Вот несколько статей на эту тему.

Коиндукция для точного вычисления действительных чисел , Ульрих Бергер и Ти Хоу: ТЕОРИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ, том 43, номера 3-4, 394-409, DOI: 10.1007 / s00224-007-9017-6
Коиндуктивное формальное рассуждение в точной действительной арифметике , Милад Никки, Логические методы в информатике, 4 (3: 6): 1–40, 2008.
Исчисление в коиндуктивной форме , Душко Павлович и Мартин Эскардо, LICS 1998.

Они вряд ли охватывают весь спектр вычислений реальных чисел, но в настоящее время достигнут прогресс в устранении различных проблем.

— Дэйв Кларк
источник

1

R

$\mathbb{R}$

Хорошая точка зрения. Я не уверен, каковы ограничения коиндуктивного подхода. Подход находится в зачаточном состоянии.

— Дэйв Кларк

7

Вычислительная сложность вычислений над действительными числами рассматривается Блумом, Кукером, Шубом и Смейлом . Вот частичное описание книги:

Классическая теория вычислений берет свое начало в работах Геделя, Тьюринга, Черча и Клини и была чрезвычайно успешной основой для теоретической информатики. Тезис этой книги, однако, состоит в том, что она обеспечивает неадекватную основу для современных научных вычислений, где большинство алгоритмов являются алгоритмами действительных чисел. Цель этой книги - разработать формальную теорию вычислений, которая объединяет основные темы классической теории и которая более непосредственно применима к задачам математики, численного анализа и научных вычислений. Попутно авторы рассматривают такие фундаментальные проблемы, как: разрешимо ли множество Мандельброта? Для простых квадратичных карт Джулия установила остановочный набор? В чем реальная сложность Ньютона? с метод? Существует ли алгоритм для решения задачи о ранце в плойномиальном количестве шагов? Hilbert Nullstellensatz неразрешимый? Трудно ли найти реальный ноль полинома четвертой степени? Возможно ли линейное программирование по реалам?

Вы можете найти обзор этой книги в ACM SIGACT News .

— М.С. Дусти
источник

Эта книга выглядит очень интересно, спасибо.

— Филипп Уайт

Добро пожаловать.

— MS Dousti 9.10.10

5

Стоит отметить, что модель вычисления BSS по реалам противоречива, по причинам, очень похожим на то, на что ссылался Дэвид Эппштейн в комментарии выше. Например: аксиома BSS, вычисляющая, занимает ли x <y один временной шаг, для произвольных вещественных чисел x и y. Напротив, подходы, такие как Эффективность второго типа (TTE), определяют машины, которые принимают в качестве входных приближений к действительным значениям и выводят вычислимые приближения для функций по действительным значениям. Чем больше времени проходит, тем лучше могут стать приближения входа и выхода. Такой подход кажется мне более реалистичным.

— Аарон Стерлинг

@ Аарон Стерлинг: знаете ли вы хороший справочник по эффективности второго типа?

— Джошуа Грохов

3

@ Джошуа Грохов: Извините, я не дошел до этого раньше. Книга, на которую ссылается Каве, - «Нильсен и Чуанг» TTE. Тем не менее, он настолько насыщен нотацией, что казался бы тайным для обычного читателя. Вместо этого я бы предложил следующие учебные слайды Vasco Brattka: cca-net.de/vasco/cca/tutorial.pdf

— Аарон Стерлинг,

7

Отредактировано / исправлено на основе комментариев

Когда авторы говорят о вводе действительных чисел в линейном программировании, вычислении равновесия по Нэшу, ... в большинстве работ (работах, которые не касаются темы вычисления / сложности над действительными числами), они на самом деле не означают действительные числа. Это рациональные числа и числа, которые возникают из-за их манипуляций (алгебраические числа). Таким образом, вы можете думать о них как о представленных конечных строках.

С другой стороны, если статья посвящена вычислимости и сложности в анализе , то они не используют обычную модель вычислений, и существуют различные несовместимые модели вычислений / сложности над действительными числами.

Если в статье не указана модель вычисления по действительным числам, можно смело предположить, что это первый случай, то есть это просто рациональные числа.

Вычислительная геометрия отличается. В большинстве работ в CG, если авторы не указывают, что это за модель, в отношении которой обсуждается правильность и сложность алгоритма, можно предположить, что это модель BSS (она же настоящая RAM).

Модель не является реалистичной и, следовательно, реализация не является прямой. (Это одна из причин того, что некоторые люди в CCA предпочитают теоретические модели Ко-Фридмана / TTE / Domain , но проблема этих моделей заключается в том, что они не так быстры, как вычисления с плавающей точкой на практике.) Правильность и сложность алгоритм в модели BSS не обязательно переходит на правильность реализованного алгоритма.

Книга Вейраха содержит сравнение между различными моделями (раздел 9.8). Это только три страницы и стоит читать.

(Существует также третий способ, который может быть более подходящим для CG, вы можете взглянуть на этот документ:

Чи Яп, " Теория реальных вычислений по EGC "

где EGC - точное геометрическое вычисление .)

— Кава
источник

Я думаю, что статья, в которой я в первую очередь заинтересован, определяет модель, учитывая, что она включает в себя предложение: «Теперь мы формально определим нашу модель вычислений». Эта статья называется «Нижние границы для задач удовлетворительности», и, как представляется, здесь обсуждаются линейные деревья решений и полиномы запросов. Итак, я думаю, что это ответ, который я искал там ... спасибо. Я перечитал газету и посмотрю, смогу ли я в этом разобраться.

— Филипп Уайт

2

Я не согласен. Это неправильная модель для вычислительной геометрии. Смотрите мой более подробный ответ ниже.

— Дэвид Эппштейн

1

@Kaveh: Я думаю, вы должны сказать, что это рациональные числа, а не числа с плавающей точкой. Точные рациональные числа легко представить с помощью конечных строк, и во многих приложениях (например, связанных с линейным программированием) промежуточные результаты также будут рациональными числами, если ваши входные данные являются рациональными числами. (Конечно, как отметил Дэвид Эппштейн, comp. Geom. Является заметным исключением в том смысле, что промежуточные результаты обычно не рациональны.)

— Юкка Суомела

@Jukka: Вы правы, я заменю число с плавающей точкой на рациональное.

— Каве

5

Нет. Когда я пишу «реальное число», я действительно имею в виду «реальное число», и под этим я подразумеваю действительно реальное число, действительно из действительных чисел. В самом деле. В частности, в статье, о которой говорит @Philip, я должен предположить, что алгоритмы работают для произвольного реального ввода, так что я могу применять результаты нестандартного анализа.

— Джефф

3

Их нет и не может, в общем. Мы можем обрабатывать только счетное количество входов (и выходов и функций) с нашими моделями вычислений. В частности, любой вход должен быть конечным, но не все действительные числа имеют конечные представления.

Я мог бы предположить, что какой-то оракул выдаст следующую цифру определенного действительного числа по запросу (например, поток). В противном случае вам придется жить с (сколь угодно точными) приближениями.

— Рафаэль
источник

Если это правда, то как LDT может иметь дело с действительными числами? Я читал кое-что о «r-Linear Decision Trees», но не совсем понял, о чем они говорили, в статье «Нижние границы для линейных задач по насыщаемости».

— Филипп Уайт

Могу поспорить, что они либо не могут, либо не используют машины Тьюринга (или эквивалентные концепции). Другие ответы, которые не так строги / общие, как мои, должны пролить свет на это.

— Рафаэль