Funsplit и полярность Pi-типов

18

В недавнем потоке в списке рассылки Агда, вопрос - законов выскочил, в котором Питер Hancock сделал заставляющий думать замечание . $\eta$

Насколько я понимаю, законы приходят с отрицательными типами, т.е. связующие, правила введения которых обратимы. Чтобы отключить для функций, Хэнк предлагает использовать специальный элиминатор funsplit вместо обычного правила приложения. Я хотел бы понять замечание Хэнка с точки зрения полярности. $\eta$ $\eta$

Например, есть две презентации -types. Существует традиционный Martin-Löf сплит нейтрализатор, в позитивном стиле: $\Sigma$

\begin{array}{l} Γ ⊢ f : (a : A) (b : B a) \to C (a, b) \\ Γ ⊢ p : Σ a : A . B \\ Γ ⊢ s p l i t f p : C p \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma \vdash f : (a : A)(b : B\: a) \to C (a , b) \\ \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \mathrm{split}\: f\: p : C\: p \end{array}$

И есть отрицательная версия:

\begin{array}{l} Γ ⊢ p : Σ a : A . B \\ Γ ⊢ π_{0} p : A \end{array} \begin{array}{l} Γ ⊢ p : Σ a : A . B \\ Γ ⊢ π_{1} p : B [π_{0} p / a] \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \pi_0\: p : A \end{array} \qquad \begin{array}{l} \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \pi_1\: p : B[\pi_0\: p / a] \end{array}$

Последнее представление позволяет легко получить для пар, т.е. для любой пары (где == обозначает равенство определений). С точки зрения доказуемости это различие не имеет значения: интуитивистски можно реализовать проекции с разбивкой или наоборот. $\eta$ $(\pi_0 p , \pi_1 p) == p$ $p$

Теперь, -типы обычно (и неоспоримый, я считаю) негативно воспринят: $\Pi$

\begin{array}{l} Γ ⊢ f : Π a : A . B \\ Γ ⊢ s : A \\ Γ ⊢ f s : B [s / a] \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma \vdash f : \Pi a : A. B \\ \Gamma \vdash s : A \\ \hline \\ \Gamma \vdash f s : B[s / a] \end{array}$

Что дает нам для функций: . $\eta$ $\lambda x. f x == f$

Тем не менее, в этом письме Хэнк вспоминает элиминатор funsplit (Программирование в теории типов ML, [http://www.cse.chalmers.se/research/group/logic/book/], стр. 56). Это описывается в логической структуре:

\begin{array}{l} f \in Π (A, B) \\ C (v) S e t [v \in Π (A, B)] \\ d (y) \in C (λ (y)) [y (x) \in B (x) [x \in A]] \\ f u n s p l i t (f, d) \in C (f) \end{array}

$\begin{array}{l} f \in \Pi(A, B) \\ C(v)\: Set [v \in \Pi(A, B)] \\ d(y) \in C(\lambda(y)) [y(x) \in B(x) [x \in A]] \\ \hline \\ \mathrm{funsplit}(f, d) \in C(f) \end{array}$

Интересно, что Nordstrom et al. мотивировать это определение, сказав, что «[эта] альтернативная неканоническая форма основана на принципе структурной индукции». Это утверждение сильно пахнет позитивом: функции будут «определены» их конструктором . $\lambda$

Тем не менее, я не могу достаточно точно описать это правило в естественной дедукции (или, что еще лучше, в последовательном исчислении). (Ab) использование логического каркаса для введения представляется здесь решающим. $y$

Итак, является ли funsplit позитивным представлением -типов? Есть ли у нас что-то похожее в (независимом) исчислении секвенций? Как бы это выглядело? $\Pi$

Насколько распространено / любопытно это для теоретиков доказательства в этой области?

— pedagand
источник

12

Представление функциональной элиминации с использованием определенно не является обычным явлением в большинстве методов теории типов. Однако я считаю, что эта форма действительно является «позитивным» представлением об устранении функциональных типов. Проблема здесь в том, что вам нужна форма соответствия шаблону высшего порядка, см., Например, Дейл Миллер . $\mathrm{funsplit}$

Позвольте мне переформулировать ваше правило более понятным для меня способом:

\begin{array}{l} Γ ⊢ f : Π x : A . B \\ Γ, z : Π x : A . B ⊢ C : S e t \\ Γ, [x : A] F (x) : B ⊢ e : C {λ x : A . F (x) / z} \\ m a t c h f w i t h λ x : A . F (x) \Rightarrow e : C {f / z} \end{array}

$\begin{array}{l} \Gamma\vdash f : \Pi x:A. B \\ \Gamma, z:\Pi x:A. B\vdash C : Set\\ \Gamma, [x:A]F(x):B\vdash e : C\{\lambda x:A.F(x)/z\}\\ \hline \\ \mathrm{match}\ f\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow e : C\{f/z\} \end{array}$

Там , где представляет собой мета-переменная типа в контексте . $F$ $B$ $x:A$

Правило переписывания становится:

m a t c h λ x : A . t w i t h λ x : A . F (x) \Rightarrow e \to e {t {u / x} / F (u)}

$\mathrm{match}\ \lambda x:A.t\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow e\quad \rightarrow\quad e\{t\{u/x\}/F(u)\}$

Это позволяет вам определить приложение как:

a p p (t, u) = m a t c h t w i t h λ x : A . F (x) \Rightarrow F (u)

$\mathrm{app}(t,u)=\mathrm{match}\ t\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow F(u)$

Помимо того факта, что для этого требуется действительная система типов «логический каркасный стиль», из-за проблем (и ограниченных потребностей) унификации более высокого порядка эта формулировка непопулярна.

Однако есть место, где в литературе присутствует положительное / отрицательное различие: формулировка предикатов логических отношений . Два возможных определения (в унарном случае)

[[Π x : A . B]] = {t ∣ \forall u \in [[A]], t u \in [[B]]_{x \mapsto u}}

$[\![\Pi x:A.B]\!] = \{t\mid \forall u\in [\![ A]\!], tu \in[\![B]\!]_{x\mapsto u} \}$

и

[[Π x : A . B]] = {t ∣ t \to^{*} λ x . t^{'}, \forall u \in [[A]], t^{'} {u / x} \in [[B]]_{x \mapsto u}}

$[\![\Pi x:A.B]\!] = \{t\mid t\rightarrow^* \lambda x.t', \forall u\in[\![A]\!], t'\{u/x\}\in[\![B]\!]_{x\mapsto u}\}$

Вторая версия менее распространена, но ее можно найти, например, в Dowek и Werner .

— Коди
источник

1

Похоже, это связано с абстрактным синтаксисом высшего порядка, который широко используется в логической структуре. В частности, здесь кажется мета-функцией.

F

$F$

— день

13

Вот немного другой взгляд на ответ Фредрика. Как правило, случайные церковные кодировки типов удовлетворяют соответствующим законам , но не удовлетворяют законам . $\beta$ $\eta$

Таким образом, это означает, что мы можем определить зависимую пару следующим образом:

\exists Икс : Икс, Y [Икс] ≜ \forall α : *, (Π Икс : Икс, Y [Икс] \to α) \to α

$\exists x:X.\;Y[x] \triangleq \forall \alpha:\ast.\; (\Pi x:X.\;Y[x] \to \alpha) \to \alpha$ Теперь, обратите внимание , что легко определимы: Однако вы не можете определить вторую проекцию - попробуйте! Вы можете определить только слабый элиминатор для этого, поэтому я написал это с экзистенциальным.

π_{1}

$\pi_1$

π_{1} : \exists Икс : Икс, Y [Икс] \to Икс ≜ λ п : (\exists Икс : Икс, Y [Икс]), п Икс (λ Икс Y, Икс)

$\pi_1 : \exists x:X.\;Y[x] \to X \triangleq \lambda p:(\exists x:X.\;Y[x]).\;p\;X\;(\lambda x\;y.x)$

π_{2} : Π p : (\exists x : X . Y [x]) . Y [π_{1} p]

$\pi_2 : \Pi p:(\exists x:X.\;Y[x]).\; Y[\pi_1\;p]$

Однако вторая проекция реализуема , и в параметрической модели вы можете показать, что она также имеет правильное поведение. (См. Мой недавний проект с Дереком Дрейером о параметричности в исчислении конструкций, чтобы узнать больше об этом.) Поэтому я думаю, что проекция фундаментально требует некоторых сильных свойств экстенсиональности, чтобы иметь смысл. $\pi_2$

В терминах последовательного исчисления слабый элиминатор имеет правило, которое выглядит примерно так:

\frac{Γ, Икс : Икс, Y : Y [Икс], Γ^{'} ⊢ е^{'} : С}{Γ, п : \exists Икс : Икс, Y [Икс], Γ^{'} ⊢ L е T (Икс, Y) знак равно п я N е^{'} : С}

$\frac{\Gamma, x:X, y:Y[x],\; \Gamma' \vdash e' : C} {\Gamma, p:\exists x:X.\,Y[x],\; \Gamma' \vdash \mathsf{let}(x,y)=p\;\mathsf{in}\;e' : C}$ Здесь неявные условия правильной формы подразумевают, что не может быть свободным в или . Если мы ослабим это условие, мы получим правило разделения, которое имеет левое правило, которое выглядит как Эта замена очень напоминает мне правило исключения Жирара / Шредера-Хейстера для равенства. Я задала вопрос

p

$p$

Γ^{'}

$\Gamma'$

C

$C$

\frac{Γ, Икс : Икс, Y : Y [Икс], [(Икс, Y) / п] Γ^{'} ⊢ е^{'} : [(Икс, Y) / п] С}{Γ, п : \exists Икс : Икс, Y [Икс], Γ^{'} ⊢ L е T (Икс, Y) знак равно п я N е^{'} : С}

$\frac{\Gamma, x:X, y:Y[x],\; [(x,y)/p]\Gamma' \vdash e' : [(x,y)/p]C} {\Gamma, p:\exists x:X.\,Y[x],\; \Gamma' \vdash \mathsf{let}(x,y)=p\;\mathsf{in}\;e' : C}$ об этом правиле некоторое время назад, и Дэвид Баэлде и Гопалан Надатур дают современную версию в своей статье LICS 2012 « Объединение модуля вычета и логики определений с фиксированной точкой» . Я думаю, что Конор МакБрайд потратил некоторое время на размышления о связи между типом идентичности и равенством Шредера-Хейстера, так что вы можете захотеть увидеть, что он думает.

— Нил Кришнасвами
источник

1

Я действительно наслаждаюсь всеми этими ответами! Я чувствую, что в ответе Фредрика есть некое понятие «самоанализа» (способность знать, что термин имеет значение), что является реальной проблемой с eta: параметричность подразумевает, что самоанализ подразумевает eta.

— Коди

10

Ричард Гарнер написал хорошую статью о применении против funsplit, О силе зависимых продуктов в теории типов Мартина-Лёфа (APAL 160 (2009)), в которой также обсуждается природа высшего порядка правила funsplit (со ссылкой на Питер Шредер-Хейстер. Естественное продолжение естественного дедукции (JSL 49 (1984))).

Ричард показывает, что при наличии типов идентичности (а также правил формирования и введения для типов ) funsplit является взаимозависимым с правилом приложения выше + пропозициональная эта, то есть следующие два правила: $\Pi$

\frac{м : Π (A, В)}{η (м) : {я d}_{Π (A, В)} (м, λ Икс, м \cdot Икс)} (Π -Prop- η)

$\frac{m : \Pi(A,B)}{\eta(m) : \mathsf{Id}_{\Pi(A,B)}(m, \lambda x . m\cdot x)} \qquad (\Pi\text{-Prop-$\eta$)}$

\frac{Икс : A ⊢ е (Икс) : В (Икс)}{η (λ (е)) знак равно р е е L (λ (е)) : {я d}_{Π (A, В)} (λ (е), λ (е))} (Π -Prop- η -comp)

$\frac{x : A \vdash f(x) : B(x)}{\eta(\lambda(f)) = \mathsf{refl}(\lambda(f)) : \mathsf{Id}_{\Pi(A,B)}(\lambda(f), \lambda (f))} \qquad (\Pi\text{-Prop-$\eta$-Comp)}$

То есть, если у вас есть funsplit, вы можете определить application и как указано выше, чтобы . Что еще интереснее, если у вас есть приложение и правила предложения, то вы можете определить funsplit. $\eta$ $(\Pi\text{-Prop-$\eta$-Comp})$

Кроме того, funsplit строго сильнее приложения: правила пропационного эта не определимы в теории с единственным применением - следовательно, фунсплит не определим, так как тогда и правила пропа будут также. Интуитивно понятно, что это потому, что правила приложения дают вам немного больше времени: в отличие от funsplit (и т. Д.), Они не сообщают вам, что такое функции, а только то, что их можно применять к аргументам. Я считаю, что аргумент Ричарда можно повторить и для типов , чтобы показать тот же результат для против проекций. $\Sigma$ $\mathsf{split}$

Обратите внимание, что если бы у вас были определенные правила eta, вы бы наверняка использовали их и пропозиционально (с ). Таким образом, я думаю, что ваши утверждения «[...] которые дают нам для функций» и «[...] эта последняя презентация облегчает получение для пар» неверны. Agda, однако, реализует как для функций, так и для пар (если определена как запись), но это не следует только из приложения. $\eta(m) := \mathsf{refl}(m)$ $\eta$ $\eta$ $\eta$ $\Sigma$

— Фредрик Нордвалл Форсберг
источник