Можно ли определить

18

Я знаю, что невозможно определить эквивалентность для нетипизированного лямбда-исчисления. Цитирование Барендрегта, Л. П. Лямбда-исчисление: его синтаксис и семантика. Северная Голландия, Амстердам (1984). : $\beta$

Если A и B являются непересекающимися непустыми множествами лямбда-членов, замкнутых относительно равенства, то A и B рекурсивно неразделимы. Отсюда следует, что если A - нетривиальное множество лямбда-термов, замкнутое при равенстве, то A не является рекурсивным. Итак, мы не можем решить проблему "M = x?" для любого конкретного М. Кроме того, из этого следует, что лямбда не имеет рекурсивных моделей.

Если у нас есть нормализующая система, такая как Система F, то мы можем решить -эквивалентность «извне», сократив два заданных условия и сравнив, являются ли их нормальные формы одинаковыми или нет. Однако можем ли мы сделать это «изнутри»? Существует ли комбинатор System-F такой, что для двух комбинаторов и мы имеем если и имеют одинаковую нормальную форму, и противном случае? Или это можно сделать хотя бы для некоторых с? комбинатор такой, что истинно тогда и только тогда, когда $\beta$ $E$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{true}$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{false}$ $M$ $E_M$ $E_M N$ $N\equiv_\beta M$ ? Если нет, то почему?

— Петр Pudlák
источник

19

Нет, это невозможно. Рассмотрим следующие два обитателя типа . $(A \to B) \to (A \to B)$

\begin{array}{l} M = λ f . f \\ N = λ f . λ a . f a \end{array}

$\begin{array}{l} M = \lambda f.\;f \\ N = \lambda f.\;\lambda a.\; f\;a \end{array}$

Это различные -нормальные формы, но их нельзя отличить лямбда-термином, поскольку является расширением , а расширение сохраняет наблюдательную эквивалентность в чисто типизированном лямбда-исчислении. $\beta$ $N$ $\eta$ $M$ $\eta$

Коди спросил, что произойдет, если мы также откажемся от эквивалентности. Ответ все еще отрицателен из-за параметричности. Рассмотрим следующие два условия на типа $\eta$ : $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

\begin{array}{lcl} M & знак равно & λ е : (\forall α, α \to α), Λ α, λ Икс : α, е [\forall α, α \to α] (Λ β, λ Y : β, Y) [α] Икс \\ N & знак равно & λ е : (\forall α, α \to α), Λ α, λ Икс : α, е [α] Икс \end{array}

$\begin{array}{lcl} M & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f \;[\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha]\;(\Lambda \beta.\lambda y:\beta.\;y)\;[\alpha]\;x\\ N & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f\;[\alpha]\;x \end{array}$

Они имеют различную нормальную, длинную форму, но обсервационно эквивалентны. Фактически все функции этого типа эквивалентны, так как $\beta$ $\eta$ - кодировка типа блока, и поэтому все функции типа $\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha$ должен быть экстенсивно эквивалентным. $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

— Нил Кришнасвами
источник

2

Хорошо, тот же вопрос с

-эквивалентностью :)

β, η

$\beta,\eta$

— cody

11

Другой возможный ответ на совершенно правильному Нееля: Предположим , что это комбинатор , хорошо напечатанный в системе F такое , что вышеуказанное условие выполнено. Тип : $E$ $E$

Е : \forall α, α \to α \to б о о L

$E : \forall \alpha.\alpha\rightarrow \alpha\rightarrow {\bf bool}$

Оказывается, есть бесплатная теорема, которая выражает, что такой термин обязательно постоянен :

\forall T, T, U, T^{'}, U^{'} : T, Е T T U знак равно Е T T^{'} U^{'}

$\forall T,\ t,u,t',u':T,\ E\ T\ t\ u = E\ T\ t'\ u'$

В частности, - это постоянно истинная функция или постоянно ложная функция, и она не может быть «решающим фактором равенства». $E$

— Коди
источник