Так что в настоящее время я иду через книгу HoTT с некоторыми людьми. Я утверждал, что большинство индуктивных типов, которые мы увидим, можно свести к типам, содержащим только зависимые типы функций и вселенные, взяв тип рекурсора как вдохновение для эквивалентного типа. Я начал обрисовывать, как я думал, что это будет работать, и после некоторого спотыкания я пришел к тому, что мне показалось ответом.
Это дает правильные определяющие уравнения (определяющие уравнения для и опущены), но это будет означать, что будет иметь неправильный тип.
И, кажется, нет простого решения этой проблемы. Я также подумал о следующем определении.
Но это просто не проверка типа.
У меня была другая идея - использовать для преобразования в но не ясно, как заставить это работать. Прежде всего, я должен показать, как уменьшить типы функций, зависящие от типов идентичности, что оказывается еще сложнее в моих набросках, чем в продуктах. Кроме того, , по-видимому, невозможно определить без надлежащей формы индукции, поэтому даже если бы я позволил себе типы идентичности, представленные в книге, я бы не приблизился к определению
Таким образом, кажется, что мы можем определить рекурсор здесь, но не индуктор. Мы можем определить что-то похожее на индуктор, но не совсем так. Рекурсия позволяет нам выполнять логику, воспринимая этот тип как значение логического соединения, но не позволяет нам доказать вещи о продуктах, которых, по-видимому, не хватает.
Можем ли мы сделать такое сокращение, о котором я заявлял? То есть, можем ли мы определить тип, используя только зависимые типы функций и юниверсы, которые имеют функцию сопряжения и индуктор с теми же определяющими уравнениями и типами, что и продукты? Это мое растущее подозрение, что я сделал ложное заявление. Кажется, что мы можем быть так разочаровывающе близки, но просто не совсем можем это сделать. Если мы не можем определить это, какой аргумент объясняет, почему мы не можем? Увеличивают ли продукты, представленные в книге HoTT, прочность системы?