Всегда ли наборы до и после для контекстно-свободных грамматик всегда контекстно-свободны?

Пусть $G$ - не зависящая от контекста грамматика. Строка терминалов и нетерминалов из $G$ называется быть сентенциальная формой из $G$ , если вы можете получить его путем применения постановки $G$ нуля или более раз для начального символа $S$ . Пусть $\operatorname{SF}(G)$ множество пропозициональных форм $G$ .

Пусть $\alpha \in \operatorname{SF}(G)$ , и пусть $\beta$ будет подстрока $\alpha$ - мы называем $\beta$ на фрагмент из $\operatorname{SF}(G)$ . Теперь давай

$\operatorname{Before}(\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \gamma \beta \delta \in \operatorname{SF}(G) \}$

и

$\operatorname{After}(\beta) = \{ \delta \ |\ \exists \gamma . \gamma \beta \delta \in \operatorname{SF}(G) \}$ .

А $\operatorname{Before}(\beta)$ и $\operatorname{After}(\beta)$ контекстно-свободных языков? Что если $G$ однозначно? Если $G$ однозначно, описываются ли $\operatorname{Before}(\beta)$ и $\operatorname{After}(\beta)$ также однозначным контекстно-свободным языком?

Это продолжение моего более раннего вопроса , после того как более ранняя попытка облегчить мой вопрос не удалась. Отрицательный ответ сделает очень сложным вопрос, над которым я работаю.

Давайте сначала почувствуем и После ( β ) . Рассмотрим дерево деривации, которое содержит β ; «содержит» здесь означает, что вы можете вырезать поддеревья, так что β является подсловом фронта дерева. Тогда набор до (после) - это все потенциальные фронты части дерева слева (справа) от β :$\operatorname{Before}(\beta)$$\operatorname{After}(\beta)$$\beta$$\beta$$\beta$

^{[ источник ]}

Таким образом, мы должны построить грамматику для горизонтально выровненной (вертикально выровненной) части дерева. Это кажется достаточно простым, поскольку у нас уже есть грамматика для всего дерева; мы просто должны убедиться, что все формы предложения являются словами (изменить алфавиты), отфильтровать те, которые не содержат (это обычное свойство, так как β фиксировано), и вырезать все после (до) β , включая β . Эта резка также должна быть возможной.$\beta$$\beta$$\beta$$\beta$

Теперь к формальному доказательству. Мы преобразуем грамматику, как изложено, и будем использовать свойства замыкания чтобы выполнять фильтрацию и вырезание, т.е. мы выполняем неконструктивное доказательство.$\mathrm{CFL}$

Пусть бесконтекстная грамматика. Легко видеть, что SF ( G ) не зависит от контекста; построить G ′ = ( N ′ , T ′ , δ ′ , N S ) следующим образом:$G = (N, T, \delta, S)$$\operatorname{SF}(G)$$G'=(N',T',\delta',N_S)$

• $N' = \{N_A \mid A \in N\}$
• $T' = N \cup T$
• $\delta' = \{\alpha(A) \to \alpha(\beta)\mid A\to\beta \in \delta \} \cup \{N_A \to A \mid A\in N\}$

с для всех т ∈ T и α ( ) = N для всех в ∈ N . Ясно, что L ( G ′ ) = SF ( G ) ; следовательно, соответствующее закрытие префикса Pref ( SF ( G ) ) и закрытие суффикса Suff ( SF ( G ) ) также не зависят от контекста¹.$\alpha(t)=t$$t \in T$$\alpha(A)=N_A$$a\in N$$\mathcal{L}(G')=\operatorname{SF}(G)$$\operatorname{Pref}(\operatorname{SF}(G))$$\operatorname{Suff}(\operatorname{SF}(G))$

Теперь для любого являются L ( β ( N ∪ T ) ∗ ) и L ( ( N ∪ T ) ∗ β ) регулярные языки. Так как C F L замкнут относительно пересечения и соотношения справа / слева с регулярными языками, мы получаем$\beta \in (N\cup T)^*$$\mathcal{L}(\beta(N\cup T)^*)$$\mathcal{L}((N\cup T)^*\beta)$$\mathrm{CFL}$

$\qquad \displaystyle \operatorname{Before}(\beta) = (\operatorname{Pref}(\operatorname{SF}(G))\ \cap\ \mathcal{L}((N\cup T)^*\beta))\,/\,\beta \in \mathrm{CFL}$

и

.$\qquad \displaystyle \operatorname{After}(\beta) = (\operatorname{Suff}(\operatorname{SF}(G))\ \cap\ \mathcal{L}(\beta(N\cup T)^*))\,\backslash\, \beta \in \mathrm{CFL}$

¹ является закрытым под правым (и слева) фактор ; Pref ( L ) = L / Σ ∗ и аналогично префиксу выхода Suff, соответственно. закрытие суффикса.$\mathrm{CFL}$$\operatorname{Pref}(L) = L / \Sigma^*$$\operatorname{Suff}$

Да, и После ( β ) являются контекстно-свободными языками. Вот как я это докажу. Во-первых, лемма (которая суть). Если L является CF, то:$\mbox{Before}(\beta)$$\mbox{After}(\beta)$$L$

$\mbox{Before}(L,\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \gamma \beta \delta \in L \}$

и

$\mbox{After}(L,\beta) = \{ \gamma \ |\ \exists \delta . \delta \beta \gamma \in L \}$

являются CF.

Доказательство? Для создайте недетерминированный конечный датчик T β, который сканирует строку, выводя каждый входной символ, который он видит, и одновременно ищет недетерминированный β . Всякий раз, когда T β видит первый символ β, он недетерминированно разветвляется и прекращает вывод символов до тех пор, пока он либо не завершит просмотр β, либо не увидит, видит символ, отклоняющийся от β , и останавливается в любом случае. Если T β видит $\mbox{Before}(L,\beta)$$T_{\beta}$$\beta$$T_{\beta}$$\beta$$\beta$$\beta$$T_{\beta}$$\beta$в полном объеме, он принимает после остановки, что является единственным способом, которым он принимает. Если он видит отклонение от , он отклоняет.$\beta$

Лемма может быть воспроизведена для обработки случаев, когда может перекрываться с самим собой (например, a b a b - продолжайте искать β даже в процессе сканирования на предмет предшествующего β ) или встречаться несколько раз (фактически, исходный недетерминированный разветвление уже справляется с этим). $\beta$$abab$$\beta$$\beta$

$T_\beta(L) = \mbox{Before}(L,\beta)$$\mbox{Before}(L,\beta)$

$\mbox{After}(L,\beta)$$\mbox{Before}(L,\beta)$

$\mbox{After}(L,\beta) = \mbox{rev}(\mbox{Before}(\mbox{rev}(L),\mbox{rev}(\beta)))$

$\mbox{After}(L,\beta)$, since the transducer for that is simpler to describe and verify -- it outputs the empty string while looking for a $\beta$. When it finds $\beta$ it forks non-deterministically, one fork continuing to look for further copies of $\beta$, the other fork copying all subsequent characters verbatim from input to output, accepting all the while.

What remains is to make this work for sentential forms as well as CFLs. But that is pretty straightforward, since the language of sentential forms of a CFG is itself a CFL. You can show that by replacing every non-terminal $X$ throughout $G$ by say $X^\prime$, declaring $X$ to be a terminal, and adding all productions $X^\prime \rightarrow X$ to the grammar.

I'll have to think about your question on unambiguity.