У каждой достаточно большой строки есть повторы?

Пусть - некоторый конечный набор символов фиксированного размера. Пусть α некоторая строка над Σ . Мы говорим, что непустая подстрока β в α является повторением, если β = γ γ для некоторой строки γ .$\Sigma$$\alpha$$\Sigma$$\beta$$\alpha$$\beta = \gamma \gamma$$\gamma$

Теперь мой вопрос заключается в следующем:

Для каждого существует такое n ∈ N , что для каждой строки α над Σ длины, по крайней мере, n , α содержит хотя бы один повтор.$\Sigma$$n \in \mathbb{N}$$\alpha$$\Sigma$$n$$\alpha$

Я проверил это по двоичному алфавиту, и это довольно легко для этого случая, но алфавит размера 3 уже довольно сложно проверить, и я хотел бы получить доказательство для сколь угодно больших грамматик.

Если приведенная выше гипотеза верна, то я могу (почти) убрать требование вставки пустых строк в другой мой вопрос .

Нет, к сожалению нет. Есть даже бесконечные слова без квадратов, если в вашем алфавите есть как минимум три символа.

Эта, по-видимому, естественная граница (у двухэлементных алфавитов есть только конечное число слов без квадратов) наблюдается во многих местах, например:

• является ко-конечной для | Σ | ≤ 2, но не контекстно-зависимая для Σ > 2 .$\{xyyz \mid x,y,z\in \Sigma^+\}$$|\Sigma|\leq 2$$\Sigma>2$
• $|\Sigma|>3$$|\Sigma|=2$