Что такое

Я смотрю на исчисление конструкций и его место в лямбда-кубе .

Если я правильно понимаю, каждая ось куба может рассматриваться как добавление еще одной операции, связанной с типами, к простому типу исчисления, $\lambda_\to$ . Первая ось добавляет операторы типа к термину, вторые операторы типа к типу и третью зависимую типизацию или операторы типа к типу. У CoC есть все три.

Тем не менее, УПС вводит термин $Prop$ , и утверждает , что $Prop : Type$ с помощью правил вывода , но в противном случае не используются. Я понимаю, что это для одноименных предложений, но логические предложения не определены в терминах этого.

Не могли бы вы объяснить мне, для чего $Prop$ , где / когда он появляется, и объяснить это в терминах осей куба (если это действительно возможно)?

В традиционной теории типов Мартина-Лёфа нет различия между типами и суждениями. Это идет под лозунгом «предложения как типы». Но иногда есть причины отличать их. CoC делает именно это.

$$\mathsf{Prop} : \mathsf{Type}$$ $\mathsf{Type} : \mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$$\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Type}_3$ $$\begin{align*} \mathsf{Prop} &: \mathsf{Type}_1 \\ \mathsf{Type}_1 &: \mathsf{Type}_2 \\ \mathsf{Type}_2 &: \mathsf{Type}_3 \\ &\vdots \end{align*}$$ $\prod$$\prod_{x : A} B(x)$$A$$B(x)$

1. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
2. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Prop}} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Prop}}$$
3. $$\frac{A : \mathsf{Prop} \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_i} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_i}$$
4. $$\frac{A : \mathsf{Type}_i \qquad x : A \vdash B(x) : \mathsf{Type}_j} {\prod_{x : A} B(x) : \mathsf{Type}_{\max(i,j)}}$$

Самое интересное - это разница между вторым и четвертым случаем. Четвертые правила говорит , что если находится в -му Вселенной и находится в -й вселенной, то произведение находится в -му Вселенной. Но второе правило говорит нам , что это не просто «еще одна вселенная на дне», потому что земли в , как только не делает, не важно , насколько велика есть. Это непредикативное , потому что позволяет определить элементы$A$$i$$B(x)$$j$$\max(i,j)$$\mathsf{Prop}$$\prod_{x : A} B(x)$$\mathsf{Prop}$$B(x)$$A$$\mathsf{Prop}$путем количественного определения самого .$\mathsf{Prop}$

Конкретным примером будет против Первый продукт находится в , но второй находится в (а не в , хотя мы количественно определяем элемент ). В частности, это означает , что один из возможных значений является сам.

$$\prod_{A : \mathsf{Type}_1} A \to A$$ $$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$$ $\mathsf{Type}_2$$\mathsf{Prop}$$\mathsf{Type}_1$$\mathsf{Type}_1$$A$$\prod_{A : \mathsf{Prop}} A \to A$