Могу ли я иметь «зависимый тип копродукта»?

14

Я читаю книгу HoTT, и у меня есть (возможно, очень наивный) вопрос о материалах в первой главе.

В этой главе вводится тип функции

f : A \to B

$f:A\to B$ а затем обобщается ее зависимость от и это называется типом зависимой функции .

B

$B$

x : A

$x:A$

B : A \to U, g : \prod_{x : A} B (x)

$B:A\to\mathcal{U},\qquad g:\prod_{x:A}B(x)$

Далее в главе вводится тип продукта а затем обобщается его, делая зависимым от и это называется типом зависимой пары .

f : A \times B

$f:A\times B$

B

$B$

x : A

$x:A$

B : A \to U, g : \sum_{x : A} B (x)

$B:A\to\mathcal{U},\qquad g:\sum_{x:A}B(x)$

Я определенно могу видеть образец здесь.

Далее в главе вводится сопутствующий тип

f : A + В

$f:A+B$ и ... combobreaker ... не обсуждается зависимая версия этого типа.

Есть ли какое-то фундаментальное ограничение на это или это просто не имеет отношения к теме книги? В любом случае, кто-то может мне помочь с интуицией, почему функции и типы продуктов? Что делает эти два настолько особенными, что их обобщают на зависимые типы, а затем используют для построения всего остального?

type-theory dependent-types homotopy-type-theory

— Костя
источник

18

Зависит сумма является общим обобщением как декартово произведение и копроизведением . Просто так получается, что книга HoTT вводит зависимую сумму путем обобщения , потому что это не требует, чтобы булев тип был определен первым. $A \times B$ $A + B$ $A \times B$

Копродукция - это частный случай зависимой суммы. Указанные типы и , рассмотрим тип семьи определяется и . Зависимая сумма эквивалентна $A$ $B$ $P : \mathtt{bool} \to \mathcal{U}$ $P(\mathtt{false}) = A$ $P(\mathtt{true}) = B$ $\sum_{b : \mathtt{bool}} P(b)$ $A + B$ , Кстати, вы также можете получить как зависимый продукт . $A \times B$ $\prod_{b : \mathtt{bool}} P(b)$

Вы спрашиваете, что особенного в продуктах и типах функций. Есть много, много причин , почему и являются «необходимыми». С точки зрения логики, они необходимы, потому что они соответствуют и соответствием типа предложения (но это только сдвигает вопрос: «Почему и необходимы?»). С точки зрения теории категорий, и необходимы , поскольку они являются левыми и правыми , сопряженный к замещению. Задайте более конкретный вопрос, если вы хотите узнать больше. $\sum$ $\prod$ $\exists$ $\forall$ $\exists$ $\forall$ $\sum$ $\prod$

— Андрей Бауэр
источник

Здравствуйте. Могу ли я спросить, как вы можете показать, что «

и

присоединены слева и справа к замене»? Какие категории будут использоваться?

\sum

$\sum$

\prod

$\prod$

— ChoMedit

Я предполагаю, что подстановка - это что-то вроде диагонального функтора, и

работает в качестве его индексной категории. Тогда, возможно, предполагаемая категория - это категория типов.

A

$A$

— ChoMedit

1

Я расскажу об этом более программно-разработчиком.

Вы говорите о типе копроизведения, чьи последние конструкторы могут ссылаться на предыдущие (который выглядит очень похоже на продукт, чьи последние поля могут ссылаться на предыдущие)? Это возможно в Agda после введения HIT (в версии 2.6.0):

-- Auxiliary definition: Nat
data Nat : Set where
  zero : Nat
  succ : Nat -> Nat

-- The HIT I was talking about
data Int : Set where
  positive : Nat -> Int
  negative : Nat -> Int
  -- Note this constructor uses `positive` and `negative`.
  zeroPath : positive zero ≡ negative zero

Следуя этой статье , если ваша программа проверки типов проверяет определения, определенные с использованием синтаксиса, представленного на рисунке "(26)", я считаю, что довольно просто поддерживать "зависимые сопутствующие продукты".

— ice1000
источник