Существует ли простая версия теста эквивалентности теста Колмогорова

Были ли сформулированы два односторонних критерия эквивалентности (TOST) для критерия Колмогорова – Смирнова, чтобы проверить отрицательную гипотезу отрицателя о том, что два распределения отличаются , по крайней мере, по некоторому уровню, указанному исследователем?

Если не TOST, то какая-то другая форма теста на эквивалентность?

Ник Стаунер мудро указывает, что (я уже должен знать;), что существуют другие непараметрические тесты эквивалентности TOST для нулевых гипотез для стохастической эквивалентности и, с более ограничительными предположениями, для медианной эквивалентности.

kolmogorov-smirnov equivalence tost

— Alexis
источник

Связанный: Тесты эквивалентности для ненормальных данных?

— Ник Стаунер,

Хорошо, вот моя первая попытка. Внимательное изучение и комментарии приветствуются!

Гипотезы с двумя выборками
Если мы можем сформулировать двусторонние односторонние тесты гипотез Колмогорова-Смирнова с нулевыми и альтернативными гипотезами по следующим направлениям:

H и $_{0}\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$

H , по меньшей мере, для одного , где: $_{\text{A}}\text{: }F_{Y}\left(t\right) < F_{X}\left(t\right)$ $t$

тестовая статистика $D^{-}=\left|\min_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ соответствует H ; $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$
тестовая статистика $D^{+}=\left|\max_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ соответствует H ; и $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \leq F_{X}\left(t\right)$
$F_{Y}\left(t\right)$ и $F_{X}\left(t\right)$ -эмпирические CDFобразцов $Y$ и $X$ ,

тогда было бы разумно создать общую гипотезу интервала для теста эквивалентности по этим направлениям (предполагая, что интервал эквивалентности является симметричным на данный момент):

H и $^{-}_0\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| \geq \Delta$

H , по крайней мере, для одного . $^{-}_{\text{A}}\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| < \Delta$ $t$

Это выразится в конкретных два односторонних «негативистской» гипотезы нуль для теста эквивалентности (эти две гипотезы принимают ту же форму, так как $D^{+}$ и $D^{-}$ строго неотрицательное):

H или $^{-}_{01}\text{: }D^{+} \geq \Delta$

H . $^{-}_{02}\text{: }D^{-} \geq \Delta$

Отклонение как H и H привело бы к выводу , что . Конечно, не нужно интервал эквивалентности быть симметричными, а и могут быть заменен (нижним) и (верхним) для соответствующих односторонних гипотез нуля. $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$ $-\Delta < F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right) < \Delta$ $-\Delta$ $\Delta$ $\Delta_{2}$ $\Delta_{1}$

Статистика теста (Обновлено: Delta находится вне знака абсолютного значения)
Статистика теста и (без явных и ) соответствуют H и H соответственно и составляют: $D^{+}_{1}$ $D^{-}_{2}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$

, и $D^{+}_{1} = \Delta - D^{+} = \Delta - \left|\max_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$

$D^{-}_{2} = \Delta - D^{-} = \Delta - \left|\min_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$

Эквивалентность / Порог актуальности
интервал -ил , при использовании асимметричной эквивалентности интервал-выражаются в единицах и , или величин разностных вероятностей. Когда и приближаются к бесконечности, CDF или для приближается к для $[-\Delta, \Delta]$ $[\Delta_{2}, \Delta_{1}]$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y},n_{X}$ $0$ , а для : $t<0$ $t \ge 0$

lim_{n_{Y}, n_{X} \to \infty} p^{+} = P (\sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$\lim_{n_{Y},n_{X}\to \infty}p^{+} = \text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+} \le t\right) = 1 - e^{-2t^{2}}$

$CDF of $D^{+}$ (or $D^{-}$)$

Таким образом, мне кажется, что PDF для масштабированной по размеру выборки (или масштабированной по размеру выборки ) должен быть для и для : $D^{+}$ $D^{-}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

f (t) = 1 - e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f(t) = {1 - e^{-2t^{2}}}\frac{d}{dt} = 4te^{-2t^{2}}$

$PDF of $D^{+}$ (or $D^{-}$)$

Glen_b указывает, что это распределение Рэлея с . Таким образом, функция квантиля большой выборки для масштабированных по размеру выборокиэто: $\sigma=\frac{1}{2}$ $D^{+}$ $D^{-}$

{CDF}^{- 1} = Q (p) = \sqrt{\frac{- \ln (1 - p)}{2}}

$\text{CDF}^{-1} = Q\left(p\right) = \sqrt{\frac{-\ln{\left(1 - p\right)}}{2}}$

and a liberal choice of $\Delta$ might be the critical value $Q_{\alpha}+\sigma/2 = Q_{\alpha}+\frac{1}{4}$ , and a more strict choice the critical value $Q_{\alpha}+\sigma/4=Q_{\alpha}+\frac{1}{8}$ .

— Alexis
источник

In the line where you pass from the cdf to the pdf, I think you got that wrong. Let

K_{n_{Y}, n_{X}} = \sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+}

$K_{n_{Y},n_{X}}=\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+}$ , so (abusing notation), in the limit

P (K_{\infty, \infty} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$P(K_{\infty,\infty}\leq t) = 1 - e^{-2t^{2}}$ . Then

f_{K} (t) = \frac{d}{d t} 1 - e^{- 2 t^{2}} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f_K(t) = \frac{d}{dt} 1 - e^{-2t^2} = 4t\, e^{-2t^2}\quad$ (note the

t

$t$ after the

4

$4$ ). (note also a missing sign in the exponent in the line above the taking of the derivative. Also I'm not sure why you have an integral symbol there, but maybe I misunderstood something.)

— Glen_b -Reinstate Monica

@stochazesthai

D_{1}

$D_{1}$ and

D_{2}

$D_{2}$ are two one-sided test statistics. Per TOST you need to reject both the null hypotheses to which these test statistics apply.

Q_{α}

$Q_{\alpha}$ is a critical value from CDF

^{- 1}

$^{-1}$ on the above line, and where you want to sub in

1 - α

$1-\alpha$ for

p

$p$ (e.g.

Q_{α} = \sqrt{\frac{- \ln (1 - (1 - α))}{2}}

$Q_{\alpha} = \sqrt{\frac{-\ln{(1-(1-\alpha))}}{2}}$ ). The choice of

Δ

$\Delta$ depends on how far past

Q_{α}

$Q_{\alpha}$ (the critical rejection value for a plain old positivist

H_{0}

$H_{0}$ ) you need to go, before you conclude relevant difference (e.g. liberal 'equivalence' is

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

σ

$\sigma$ beyond

Q_{α}

$Q_{\alpha}$ ).

— Alexis

@stochazesthai (Continuing) So if both

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$ and

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$ , then you reject

H_{0}^{-}

$H_{0}^{-}$ .

— Alexis

@stochazesthai Whoops! I should have put the quotes around the word liberal rather than equivalence two comments back. :)

— Alexis

@stochazesthai If

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$ , then reject

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$ , if

D_{1} < Δ

$D_{1} < \Delta$ , then fail to reject

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$ . If

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$ , then reject

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$ , if

D_{2} < Δ

$D_{2} < \Delta$ , then fail to reject

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$ . If reject both

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$ and

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$ , then reject

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$ , otherwise fail to reject

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$ .

— Alexis

An alternative to TOST in equivalence testing is based on the confidence interval approach:

Let $\Delta$ denote the prespecified equivalence margin and

θ := sup_{t} | F_{X} (t) - F_{Y} (t) |

$\theta := \sup_t |F_X(t) - F_Y(t)|$ the Kolmogorov-Smirnov distance between the unknown underlying distribution functions.

Now, if a 90% confidence interval for $\theta$ is completely within $[-\Delta, \Delta]$ , then we may be 95% certain that $\theta$ is enough close to 0 to speak of "equivalence".

Without knowing the underlying distributions, it seems to be hopeless to derive an approximate analytic confidence interval, so we might need to rely on (bias corrected) bootstrap confidence intervals based on resampling from pairs $X$ and $Y$ . (I don't want to find conditions for their validity in this particular application though...)

— Michael M
источник

Excellent. Do you have a citation for anyone undertaking the CI of

D_{n_{1}, n_{2}}

$D_{n_{1},n_{2}}$ (bootstrap or otherwise)?

— Alexis

Good point... The short paper tomswebpage.net/images/K-S_test.doc mentions the "Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures, Fifth Edition by David J.Sheskin (Apr 27, 2011)." to offer a two-sample case construcion for D. But at the moment, I don't have access to this book.

— Michael M

Существует ли простая версия теста эквивалентности теста Колмогорова – Смирнова?