Что такое CDF из двух выборок из и из одностороннего теста Колмогорова-Смирнова?

Я пытаюсь понять, как получить $p$ для одностороннего теста Колмогорова-Смирнова , и пытаюсь найти CDF для $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ и $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ в случае двух выборок. Ниже приводится в нескольких местах как CDF для $D^{+}_{n}$ в случае с одним примером:

$$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$$

Кроме того, в силу того, что существует несколько иная формулировка этого CDF с одним образцом (я заменяю $x$ на $t$ в его цитате для соответствия моей записи здесь):

Используя интегральное преобразование вероятности, Дональд Кнут выводит их (общее) распределение на p. 57 и упражнение 17 из TAoCP Том 2. Я цитирую:

$$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$$

Это применимо к односторонним гипотезам в случае одной выборки, например: H $_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$ , где $F(x)$ - эмпирический CDF из $x$ , и $F_{0}$ является некоторым CDF.

Я думаю, что $x$ в этом случае является значением $D^{+}_{n}$ в выборке, и что $\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$ является наибольшим целым числом в $n-nx$ . (Это правильно?)

Но что такое CDF для (или ), когда у одного есть два образца? Например, когда H для эмпирических CDF и ? Как получить ? D - n 1 , n 2 0 :  F A ( x ) - F B ( x ) ≤ 0 A B p + n 1 , n $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$$_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$$A$$B$$p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

Хорошо, я собираюсь нанести удар в этом. Критические идеи приветствуются.

На странице 192 Gibbons and Chakraborti (1992), ссылаясь на Ходжеса, 1958, начнем с CDF с малой выборкой (точной?) Для двустороннего теста (я поменяю местами их нотации и для и соответственно):д н 1 , н 2$m,n$$d$$n_{1},n_{2}$$x$

$$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$$

Где создается путем перечисления путей (монотонно возрастающих в и ) от начала координат до точки через граф с заменой на - значения x- осей и y -осей равны и . Кроме того, пути должны подчиняться ограничению нахождения внутри границ (где - значение статистики теста Колмогорова-Смирнова): n 1 n 2 ( n 1 , n 2 ) S m ( x ) F n 1 ( x ) n 1$A\left(n_{1},n_{2}\right)$$n_{1}$$n_{2}$$\left(n_{1},n_{2}\right)$$S_{m}(x)$$F_{n_{1}}(x)$n 2 F 2 ( x )$n_{1}F_{1}\left(x\right)$$n_{2}F_{2}\left(x\right)$$x$

$$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$$

Ниже на их рисунке Рисунок 3.2 представлен пример для с 12 такими путями:$A(3,4)$

Далее Гиббонс и Чакаборти говорят, что одностороннее значение получается с использованием того же графического метода, но только с нижней границей для и только верхний для .D + n 1 , n $p$$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

Эти небольшие выборочные подходы влекут за собой алгоритмы перечисления путей и / или рекуррентные соотношения, которые, несомненно, делают асимптотические вычисления желательными. Гиббонс и Чакраборти также отмечают ограничивающие CDF как и приближающиеся к бесконечности, из :$n_{1}$ D n 1 , n $n_{2}$$D_{n_{1},n_{2}}$

$$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$$

И они дают ограничительный CDF (или ) как:$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

$$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$$

Поскольку и строго неотрицательны, CDF может принимать ненулевые значения только в течение :$D^{+}$$D^{-}$$[0,\infty)$

Ссылки
Gibbons, JD и Chakraborti, S. (1992). Непараметрический статистический вывод . Marcel Decker, Inc., 3-е издание, переработанное и расширенное издание.

Ходжес, JL (1958). Вероятность значимости критерия Смирнова с двумя образцами. Arkiv for the matematik . 3 (5): 469--486.