Когда-то люди использовали таблицы логарифмов, чтобы умножать числа быстрее. Почему это? Логарифмы преобразовывают умножение в сложение, так как . Таким образом, чтобы умножить два больших числа a и b , вы нашли их логарифмы, добавили логарифмы z = log ( a ) + log ( b ) , а затем посмотрели exp ( z ) в другой таблице.log(ab)=log(a)+log(b)abz=log(a)+log(b)exp(z)
Теперь характеристические функции делают то же самое для распределения вероятностей. Предположим, что имеет распределение f, а Y имеет распределение g , а X и Y независимы. Тогда распределение X + Y является сверткой из е и г , е * г .XfYgXYX+Yfgf∗g
Теперь характеристическая функция является аналогом «трюка с логарифмической таблицей» для свертки, поскольку если является характеристической функцией f , то имеет место следующее соотношение:ϕff
ϕfϕg=ϕf∗g
Кроме того, также как и в случае логарифмов, легко найти обратную характеристическую функцию: учитывая где h - неизвестная плотность, мы можем получить h с помощью обратного преобразования Фурье ϕ h .ϕhhhϕh
Характеристическая функция преобразует свертку в умножение для функций плотности так же, как логарифмы преобразуют умножение в сложение для чисел. Оба преобразования преобразуют относительно сложную операцию в относительно простую.