Этот вопрос связан с работой Амари « Дифференциальная геометрия изогнутых экспоненциальных семейств-искривлений и потеря информации ».
Текст выглядит следующим образом.
Пусть - n- мерное многообразие распределений вероятностей с системой координат θ = ( θ 1 , … , θ n ) , где предполагается , что p θ ( x ) > 0 ...
Мы можем рассматривать каждую точку из S n как несущую функцию log p θ ( x ) из x ...
Пусть - касательное пространство S n в θ , которое, грубо говоря, отождествляется с линеаризованной версией малой окрестности θ в S n . Пусть e i ( θ ) , i = 1 , … , n - естественный базис T θ, связанный с согласованной системой ...
Поскольку каждая точка из S n несет функцию log p θ ( x ) из x , естественно рассматривать e i ( θ ) в θ как представление функции e i ( θ ) = ∂
Я не понимаю последнее утверждение. Это появляется в разделе 2 вышеупомянутой статьи. Как базис касательного пространства задается приведенным выше уравнением? Было бы полезно, если бы кто-то в этом сообществе, знакомый с такого рода материалами, мог помочь мне понять это. Спасибо.
Обновление 1:
Хотя я согласен, что (от @aginensky), если линейно независимыто∂также линейно независимы, как они являются членами касательного пространствав первую очередь, не очень понятно. Так как же∂следует рассматривать как основу для касательного пространства. Любая помощь приветствуется.
Обновление 2:
@aginensky: В своей книге Амари говорит следующее:
Рассмотрим случай, когда , множество всех (строго) положительных вероятностных мер на X = { x 0 , … , x n } , где мы рассматриваем P ( X ) как подмножество R X = { X | X : X → R } . Фактически P ( X ) является открытым подмножеством аффинного пространства { X | ∑ х .
Тогда касательное пространство к S n в каждой точке естественно отождествить с линейным подпространством A 0 = { X | ∑ x X ( x ) = 0 } . Для натуральной основы ∂ системы coordiantethetas=(thetas1,...,thetasп), имеем(∂.
Далее, давайте возьмем другое вложение и отождествим S n с подмножеством log S n : = { log p | р ∈ S п } из R X . Затем касательный вектор X ∈ T p ( S n ) представляется результатом операции X для p ↦ log p , который мы обозначим через X ( e ) . В частности, у нас есть. Очевидно, чтоX(e)=X(x)/p(x)и что T ( e ) p (Sn)={X(e)| X∈Tp(Sn)}={A∈RX| ∑хА(х
Мой вопрос: если оба и(∂являются базисом для касательного пространства, тогда это не противоречит тому факту, чтоTpиT ( e ) p различны и∂ ?