Пример CLT, когда моменты не существуют

Рассмотрим $X_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases}$

Мне нужно показать, что, хотя это имеет бесконечные моменты,

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n}) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1)$

Я попытался показать это, используя теорему непрерывности Леви, то есть попытался показать, что характеристическая функция левой стороны сходится к характеристической функции стандартной нормали. Однако это казалось невозможным показать.

Подсказка для этой проблемы состояла в том, чтобы обрезать каждый , то есть позволить и использовать условие Линдеберга, чтобы показать, что . $X_i$ $Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}$ $\sqrt{n} \bar{Y}_n \overset{d}{\to} N(0,1)$

Однако мне не удалось показать, что условие Ляпунова выполнено. Это главным образом потому, что не ведет себя так, как я бы этого хотел. Я хотел бы, чтобы принимал только значения -1 и 1, однако, как он построен, он может принимать значения $Y_{ni}$ $Y_{ni}$ $-1, 1, 2^{i+1}, 2^{i+2}, \dots, 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}$

— Greenparker
источник

Если вы усекаете значение , внимательно проверьте последний абзац на предмет значений, которые может принимать усеченная переменная. В любом случае, попробуйте усечь вместо , используйте Borel-Cantelli, а затем Слуцкого, чтобы получить результат. Вы должны быть в состоянии использовать Линдеберга или Ляпунова на усеченной фигуре (хотя я на самом деле не проверял это).

n

$n$

1

$1$

— кардинал

Прости за это. Поменял его на «бесконечные» моменты

— Greenparker

@cardinal Я перебрал возможные значения, которые может принять снова, и добавил слово к термину журнала. В противном случае значения кажутся правильными. Если я урежу в 1, я получу значения, которые я хочу для и смогу применить условие Линдеберга, чтобы получить сходимость к нормали. Однако я не вижу, как это будет означать сходимость к норме для

Y_{n i}

$Y_{ni}$

Y_{n i}

$Y_{ni}$

\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}

$\sqrt{n} \bar{X}_n$

— Greenparker

Что такое " "? Вы не описали контекст, в котором есть образцы или несколько экземпляров каждого , откуда - учитывая то, что указано в вопросе - о единственно возможном прочтении этой записи является то, что она относится к среднему значению , которое всегда бесконечен и является числом, а не распределением. Поэтому мы должны представить, что вы рассматриваете iid образцы , но вы должны сообщить нам об этом, и вам особенно нужно указать размеры выборки.

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

X_{n}

$X_n$

— whuber

Вот ответ, основанный на комментарии @ cardinal:

Пусть выборочное пространство с путями случайных процессов и , где мы . Условие Линдеберга (соответствующее обозначениям Википедии ) выполняется для: для любого as всякий раз, когда $(X_i)_{i=0}^{\infty}$ $(Y_i)_{i=0}^{\infty}$ $Y_i=X_i \mathbb{1}_{\{X_i\leq 1\}}$

\frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} E (Y_{i}^{2} 1_{{| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}}}) \leq \frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} P (| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}) \to 0,

$\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n \mathbb E (Y_i^2 \mathbb{1}_{\{|Y_i|> \epsilon s_n^2\}})\leq \frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n P(|Y_i|> \epsilon s_n^2)\to0,$

ϵ

$\epsilon$

s_{n}^{2} \to \infty

$s_n^2\to \infty$

n \to \infty .

$n\to \infty.$

У нас также есть по Борелю-Кантелли, поскольку так что . , и отличаются лишь конечно часто, почти наверняка. $P(X_i\neq Y_i, i.o.) = 0$ $P(X_i \neq Y_i)=2^{-i}$ $\sum_{i=0}^{\infty} P(X_i \neq Y_i) = 2<\infty$ $X_i$ $Y_i$

Определите и эквивалентно для . Выберите пример пути , что только для конечного числа . Индексируйте эти термины с помощью . Из этого пути также чтобы были конечными. Для такого пути где . Кроме того, при достаточно большом , $S_{X,n}=\sum_{i=0}^{n} X_i$ $S_{Y,n}$ $(X_i)_{i=1}^{\infty}$ $X_i > 1$ $i$ $\mathcal{J}$ $X_j,j\in \mathcal{J}$

\frac{S_{J}}{\sqrt{n}} \to 0, as n \to \infty

$\frac{S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}} \to 0,\text{ as }n\to \infty$

S_{J} := \sum_{j \in J} X_{j}

$S_{\mathcal{J}}:=\sum_{j\in \mathcal{J}}X_j$

n

$n$

S_{X, n} - S_{Y, n} = S_{J} .

$S_{X,n}-S_{Y,n}=S_{\mathcal{J}}.$

Используя результат Бореля-Кантелли вместе с тем фактом, что почти наверняка конечна, мы видим, что вероятность выборочного пути, соответствующего нашим требованиям, равна единице. Другими словами, различные термины почти наверняка сводятся к нулю. Таким образом, по теореме Слуцкого мы имеем, что для достаточно большого , где . $X_i$ $n$

\frac{1}{\sqrt{n}} S_{X, n} = \frac{S_{Y, n} + S_{J}}{\sqrt{n}} \overset{d}{\to} ξ + 0,

$\frac{1}{\sqrt{n}}S_{X,n}=\frac{S_{Y,n}+S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\xi+0,$

ξ \sim N (0, 1)

$\xi\sim N(0,1)$

— ekvall
источник