Являются ли распределения с одинаковыми моментами одинаковыми

Следующие похожи, но отличаются от предыдущих постов здесь и здесь

Для двух распределений, которые допускают моменты всех порядков, если все моменты двух распределений одинаковы, то являются ли они одинаковыми распределениями ae?
Для двух распределений, которые допускают функции, порождающие моменты, если они имеют одинаковые моменты, являются ли их функции, порождающие моменты, одинаковыми?

— Тим
источник

В целом, в соответствии с вопросом № 2, я считаю, что если две функции имеют одинаковый MGF (если он существует в открытой окрестности 0), то они следуют одному и тому же распределению. К сожалению, я не знаю доказательства, так как оно довольно сложное. Надеюсь, это поможет немного.

— nicefella

@nicefella Доказательство относительно простое: оценка MGF при мнимых значениях дает характеристическую функцию, которую можно инвертировать для получения распределения. Инверсия работает при условии, что MGF является аналитическим в окрестности начала координат.

— whuber

Позвольте мне ответить в обратном порядке:

2. Да. Если их MGF существуют, они будут такими же *.

смотрите здесь и здесь, например

Действительно, это следует из результата, который вы даете в посте, из которого он исходит если MGF однозначно ** определяет распределение, а два распределения имеют MGF и имеют одинаковое распределение, они должны иметь одинаковый MGF (в противном случае у вас был бы контрпример к «MGF однозначно определяют распределения»).

* для определенных значений «то же самое», из-за этой фразы «почти везде»

** « почти везде »

Нет - поскольку существуют контрпримеры.

Кендалл и Стюарт перечисляют семейство непрерывного распространения (возможно, первоначально из-за Стилтьеса или кого-то из этого винтажа, но, насколько я помню, неясно, прошло несколько десятилетий), которые имеют идентичные последовательности моментов и, тем не менее, разные.

В книге Романо и Зигеля (Контрпримеры в вероятности и статистике) перечислены контрпримеры в разделах 3.14 и 3.15 (стр. 48-49). (На самом деле, глядя на них, я думаю, что оба они были в Кендалле и Стюарте.)

Романо Дж. П. и Сигел А. Ф. (1986).
Контрпримеры в вероятности и статистике.
Бока Ратон: Чепмен и Холл / CRC.

Для 3.15 они кредитуют Феллера, 1971, р227

Этот второй пример включает в себя семейство плотностей

е (Икс; α) знак равно \frac{1}{24} ехр (- {Икс}^{1 / 4}) [1 - α грех ({Икс}^{1 / 4})], Икс > 0; 0 < α < 1

$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$

$\alpha$

$f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

и затем показывает, что вторая часть вносит 0 в каждый момент, поэтому они все совпадают с моментами первой части.

$\alpha=0$ $\alpha=0.5$

пример одинаковых моментов, разных плотностей

Возможно, еще лучше - взять гораздо больший диапазон и использовать четвертую корневую шкалу на оси x, чтобы синяя кривая была прямой, а зеленая - как кривая греха над и под ней, что-то вроде этого:

введите описание изображения здесь

Шевеление выше и ниже синей кривой - большей или меньшей величины - оказывается, что все положительные целые моменты остаются неизменными.

$X_1,X_2$ $\alpha$ $X_1$ $-X_2$

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

Благодарность! В вашем ответе на мой второй вопрос, что означает «для определенных значений« то же »»? Можете ли вы дать контрпримеры на мой первый вопрос?

— Тим

Это просто ссылка на необходимую квалификацию, вызванную «почти везде», которая есть в предыдущем вопросе. Таким образом, контрпримеры могли смотреть на функции плотности, которые были почти одинаковыми почти везде, но различались в счетном подмножестве точек - я уже приводил вам пример ранее.

— Glen_b

Для моего первого вопроса (согласно вашему ответу yes на мой второй вопрос и моему вопросу в моем предыдущем посте) все контрпримеры относятся к случаю, когда оба распределения не допускают функции, порождающие моменты?

— Тим

То, что это должно быть так, является следствием утверждения «Если mgf конечен в открытом интервале, содержащем ноль, то соответствующее распределение характеризуется его моментами» в ответе кардинала, с которым, я полагаю, я связан. Если mgf не является конечным в этом смысле, это единственный способ для распределения не характеризоваться его моментами.

— Glen_b

На первый вопрос ответили по адресу stats.stackexchange.com/questions/25010/… и в недавнем вопросе OP по адресу stats.stackexchange.com/questions/84158/… . Пример Феллера приписывают Стилтьесу (задолго до времени Феллера) в Stuart & Ord.

— whuber