Идентичность момент-генерирующих функций

Существуют ли неидентичные распределения, которые имеют одну и ту же функцию, генерирующую моменты?

distributions moments mgf

См. Википедию в разделе Функция, генерирующая

— моменты

@onetop, который отвечает на это! если ты хочешь поставить это как ответ, я приму синицу.

Да.

В упражнении, Стюарт и Ord ( Кендалла Современная теория статистики .., 5 - е изд, Исх 3,12) процитировать 1918 результат TJ Стилтьеса (который , видимо , появляется в его Oeuvres Завершает , ):

Если нечетная функция периода , покажите, что $f$ $\frac{1}{2}$

$\int_{0}^{\infty} x^{r} x^{- \log x} f (\log x) d x = 0$ $\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$
для всех интегральных значений . Отсюда видно, что распределения $r$

$d F = x^{- \log x} (1 - λ \sin (4 π \log x)) d x, 0 \leq x < \infty; 0 \leq | λ | \leq 1,$ $dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$
есть одинаковые моменты независимо от значения . $\lambda$

(В оригинале отображается только как ; ограничение на размер возникает из-за необходимости сохранять все значения функции плотности неотрицательными.) Упражнение легко решить с помощью подстановки и завершение квадрата. Случай является известным логнормальным распределением . $|\lambda|$ $\lambda$ $\lambda$ $dF$ $x = \exp(y)$ $\lambda=0$

введите описание изображения здесь

Синяя кривая соответствует , логнормальное распределение. Для красной кривой и для золотой кривой . $\lambda=0$ $\lambda = -1/4$ $\lambda = 1/2$

— Whuber
источник

Но логнормальное распределение не имеет функции, генерирующей моменты.

— OneStop

Это отличный момент, и я должен с этим согласиться. Я взял вопрос в смысле «наличия одного и того же набора моментов», и я должен был указать на это изменение интерпретации. Когда mgf существует как функция (а не только как формальный степенной ряд), тогда он может быть инвертирован для получения уникальной плотности, которой он соответствует.

— whuber

Неверно, что логнормальное не имеет mgf, только то, что оно не определено на открытом интервале, содержащем ноль

— kjetil b halvorsen

Для записи, @onestop и я неявно обсуждали существование mgf в окрестности $0.$ Этот смысл часто предполагается, потому что одно из самых основных применений mgf - расширение его ряда Маклаурина (ряд Тейлора около ). чтобы вычислить или проанализировать моменты, и это требует, чтобы функция была определена в окрестности, а не только в

0

$0$

0.

$0.$

— whuber

@whuber: Это нормально, но, похоже, это понимают так часто, что забывают, что mgf могут быть полезны и в других случаях. Смотрите также (ссылки в) stats.stackexchange.com/questions/389846/…

— kjetil b halvorsen