Геометрическая интерпретация оценки максимального правдоподобия

Я читал книгу Франклина М. Фишера «Проблема идентификации в эконометрике », и меня смутило то, что он демонстрирует идентификацию путем визуализации функции правдоподобия.

Проблема может быть упрощена как:

Для регрессии , где , и - параметры. Предположим, что имеет коэффициент равный единице. Тогда функция правдоподобия в пространстве будет иметь гребень вдоль луча, соответствующий вектору истинных параметров и его скалярных кратных . При рассмотрении только места, заданного , функция правдоподобия будет иметь уникальный максимум в точке, где луч пересекает эту плоскость.$Y=a+Xb+u$$u \sim i.i.d. N(0,\sigma^2I)$$a$$b$$Y$$c$$c, a,b$$c=1$

Мои вопросы:

1. Как понять и рассуждать о гребне и луче, упомянутых в демонстрации.
2. Поскольку луч - это истинные параметры и скаляры, почему луч не находится на плоскости, заданной поскольку истинное значение параметра с равно 1.$c=1$$c$

Вне контекста этот отрывок немного расплывчат, но вот как я его интерпретировал.

Предположим , что я хотел , чтобы выполнить линейную регрессию . Я бы написал c Y = a ′ + X b ′ + u, где u ∼ N ( 0 , c 2 σ 2 ) . Если Y = a 0 + X b 0 являются истинными параметрами, то ясно, что c Y = c a 0 + X c b 0 являются истинными параметрами c $cY$$cY = a' +Xb' + u$$u \sim N(0, c^2 \sigma^2)$$Y=a_0+Xb_0$$cY = c a_0 + Xcb_0$$cY$,

Для фиксированного функция правдоподобия для этой регрессии на c Y имеет уникальный максимум в точке a ′ = c a 0 и b ′ = c b 0 . Таким образом, для общего c луч скалярных умножений на истинный параметр образует гребень функции правдоподобия как функцию трех переменных. Теперь возьмем c = 1, чтобы пересечь плоскость c = 1 .$c$$cY$$a'=ca_0$$b' = cb_0$$c$$c=1$$c=1$