Корреляция логнормальных случайных величин


16

Учитывая и X 2 нормальные случайные величины с коэффициентом корреляции ρ , как мне найти корреляцию между следующими логнормальными случайными величинами Y 1 и Y 2 ?X1X2ρY1Y2

Y1=a1exp(μ1T+TX1)

Y2=a2exp(μ2T+TX2)

Теперь, если и X 2 = σ 1 Z 2 , где Z 1X1=σ1Z1X2=σ1Z2Z1 и представляют собой стандартные нормалей, от линейной трансформации собственности, мы получаем:Z2

Y1=a1exp(μ1T+Tσ1Z1)

Y2=a2exp(μ2T+Tσ2(ρZ1+1ρ2Z2)

Теперь, как перейти отсюда, чтобы вычислить корреляцию между и Y 2 ?Y1Y2


@ user862, подсказка: используйте характерную функцию двумерного нормали.
mpiktas

2
Смотрите уравнение (11) в stuart.iit.edu/shared/shared_stuartfaculty/whitepapers/… (но следите за ужасным набором текста).
whuber

Ответы:


19

Я предполагаю, что и X 2N ( 0 , σ 2 2 ) . Обозначим Z i = exp ( X1N(0,σ12)X2N(0,σ22). потомZi=exp(TXi)

поэтомуZiявляютсялогнормальными. таким образом

log(Zi)N(0,Tσi2)
Zi

EZi=exp(Tσi22)var(Zi)=(exp(Tσi2)1)exp(Tσi2)
EYi=aiexp(μiT)EZivar(Yi)=ai2exp(2μiT)var(Zi)

Then using the formula for m.g.f of multivariate normal we have

EY1Y2=a1a2exp((μ1+μ2)T)Eexp(TX1+TX2)=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(12T(σ12+2ρσ1σ2+σ22))
So
cov(Y1,Y2)=EY1Y2EY1EY2=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(T2(σ12+σ22))(exp(ρσ1σ2T)1)

Now the correlation of Y1 and Y2 is covariance divided by square roots of variances:

ρY1Y2=exp(ρσ1σ2T)1(exp(σ12T)1)(exp(σ22T)1)

Note that as long as the approximation ex1+x is valid on the final formula found above one has ρY1Y2ρ.
danbarros
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.