Определение времени автокорреляции (для эффективного размера выборки)

В литературе я нашел два определения времени автокорреляции слабо стационарного временного ряда:

$$\tau_a = 1+2\sum_{k=1}^\infty \rho_k \quad \text{versus} \quad \tau_b = 1+2\sum_{k=1}^\infty \left|\rho_k\right|$$

где - автокорреляция при лагеk. $\rho_k = \frac{\text{Cov}[X_t,X_{t+h}]}{\text{Var}[X_t]}$$k$

Одно из применений времени автокорреляции - найти «эффективный размер выборки»: если у вас есть наблюдений временного ряда, и вы знаете его время автокорреляции τ , то вы можете притворяться, что у вас есть$n$$\tau$

$$n_\text{eff} = \frac{n}{\tau}$$

независимые выборки вместо коррелированных для нахождения среднего значения. Оценка τ по данным является нетривиальной, но есть несколько способов сделать это (см. Томпсон 2010 ).$n$$\tau$

Определение без абсолютных значений представляется более распространенным в литературе; но это допускает возможность τ a < 1 . Используя R и пакет "coda":$\tau_a$$\tau_a<1$

require(coda)
ts.uncorr <- arima.sim(model=list(),n=10000)         # white noise 
ts.corr <- arima.sim(model=list(ar=-0.5),n=10000)    # AR(1)
effectiveSize(ts.uncorr)                             # Sanity check
    # result should be close to 10000
effectiveSize(ts.corr)
    # result is in the neighborhood of 30000... ???

Функция «ffectiveSize »в« коде »использует определение времени автокорреляции, эквивалентного , выше. Существуют и другие пакеты R, которые вычисляют эффективный размер выборки или время автокорреляции, и все те, которые я пробовал, дают результаты, согласующиеся с этим: процесс AR (1) с отрицательным коэффициентом AR имеетболееэффективные выборки, чем коррелированные временная последовательность. Это кажется странным. $\tau_a$

Очевидно, что это не может произойти в определения времени автокорреляции.$\tau_b$

Как правильно определить время автокорреляции? Что-то не так с моим пониманием эффективных размеров выборки? результатпоказанный вышекажетсячто это должно быть неправильно ... что происходит?$n_\text{eff} > n$

Во-первых, соответствующее определение «эффективного размера выборки» связано с ИМО с довольно конкретным вопросом. Если одинаково распределены со средним ц и дисперсией 1 эмпирическое среднее μ$X_1, X_2, \ldots$$\mu$ - несмещенная оценкаµ. Но как насчет его дисперсии? Длянезависимыхпеременных дисперсия

$$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$$ $\mu$ . Для слабо стационарных временных рядов, дисперсия ц является $n^{-1}$$\hat{\mu}$ Аппроксимация справедлива для достаточно большихn. Если мы определимneff=n/τa, дисперсия эмпирического среднего значения для слабо стационарного временного ряда будет приблизительноn - 1 eff , что является такой же дисперсией, как если бы у нас былоneffнезависимых выборок. Таким образом,neff=n/τaявляется подходящим определением, если мы запрашиваем дисперсию эмпирического среднего. Это может быть неуместно для других целей. $$\frac{1}{n^2} \sum_{k, l=1}^n \text{cov}(X_k, X_l) = \frac{1}{n}\left(1 + 2\left(\frac{n-1}{n} \rho_1 + \frac{n-2}{n} \rho_2 + \ldots + \frac{1}{n} \rho_{n-1}\right) \right) \simeq \frac{\tau_a}{n}.$$ $n$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$$n_{\text{eff}}^{-1}$$n_{\text{eff}}$$n_{\text{eff}} = n/\tau_a$

$n^{-1}$$n_{\text{eff}} > n$

см. http://arxiv.org/pdf/1403.5536v1.pdf

а также

https://cran.r-project.org/web/packages/mcmcse/mcmcse.pdf

для эффективного размера выборки. Я думаю, что альтернативная формулировка, использующая соотношение дисперсии выборки и асимптотической дисперсии цепи Маркова через среднее значение партии, является более подходящей оценкой.