Ожидаемое значение и дисперсия журнала (а)

У меня есть случайная величина где a - нормально распределенная . Что я могу сказать об и ? Аппроксимация тоже будет полезна. $X(a) = \log(a)$ $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ $E(X)$ $Var(X)$

— rocksportrocker
источник

Я думаю, что вопрос был об "обратном" логарифмическому нормальному, то есть, где нормальный rv A приводит к логарифмически нормальному X = exp (A), спрашивающий спрашивал о распределении X = log (A), которое не определено (из-за того, что иногда требуется журнал отрицательного числа). Для усеченной нормали могут быть некоторые результаты, но они могут быть грязными.

— Мартин О'Лири

rockportrocker, как отмечает @Martin O'Leary, не имеет математической возможности иметь такую переменную , потому что не определен для отрицательных значений. Как минимум, вам нужно обрезать некоторого неотрицательного значения. Не могли бы вы сказать нам, почему вы считаете, может быть нормальным?

X

$X$

\log (a)

$\log(a)$

a

$a$

a

$a$

— whuber

Если мы рассмотрим «приближение» в довольно общем смысле, мы можем получить что-то.

Мы должны предполагать, что у нас нет фактического нормального распределения, но что-то, что приблизительно нормально, за исключением плотности, не может быть ненулевым в окрестности 0.

Итак , давайте говорить , что является «приблизительно перпендикулярным» (и концентрируется вблизи среднего *) в том смысле , что мы можем handwave прочь беспокойство по поводу приближались 0 (и его последующее влияние на моменты , так как не «опускается около 0»), но с теми же моментами низкого порядка, что и указанное нормальное распределение, тогда мы могли бы использовать ряды Тейлора для аппроксимации моментов преобразованной случайной величины . $a$ $a$ $\log(a)$ $a$

Для некоторого преобразования это включает расширение как ряд Тейлора (представьте себе где играет роль ' ', а принимает роль « »), а затем принять ожидания и затем либо вычислить дисперсию или ожидание квадрата разложения (из которого можно получить дисперсию). $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

Полученные приблизительные ожидания и отклонения:

$\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$ и

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

и так (если я не сделал никаких ошибок), когда : $g() = \log()$

E [\log (a)] \approx l o g (μ_{a}) - \frac{σ_{a}^{2}}{2 μ_{a}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [\log (a)] \approx σ_{a}^{2} / μ_{a}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

* Чтобы это было хорошим приближением, вы обычно хотите, чтобы стандартное отклонение было достаточно маленьким по сравнению со средним (низкий коэффициент вариации). $a$

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

Поскольку ряд Тейлора для log имеет относительно небольшой радиус сходимости, рекомендуется применять осторожность при применении этих приближений.

— whuber

@whuber для расширения вокруг среднего значения, я думаю, что это будет соответствовать совету о том, что «стандартное отклонение должно быть довольно маленьким по сравнению со средним», которым заканчивается мой ответ - если я упускаю некоторые дальнейшие вопросы, что этот совет не распространяется, я должен исправить свой ответ.

a

$a$

— Glen_b

Аппроксимация для среднего значения работает очень хорошо для а для дисперсии - для или около того.

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$

— whuber

В любом случае, безусловно, стоит иметь в виду, что мы косвенно полагаемся на сходимость (поскольку ). Спасибо также за предложенные явные значения; если что-нибудь, возможно, я немного переусердствую, когда использую это. Два ценных комментария.

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$

— Glen_b