Согласование обозначений для смешанных моделей

Я знаком с такими обозначениями, как:

где, и

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{i} x_{i j} + u_{j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{i} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_i x_{ij} + u_j + e_{ij}\\ &= \beta_{0j} + \beta_i x_{ij} + e_{ij} \end{align}$

β_{0 j} = β_{0} + u_{j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_j$

гдеи

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j} + u_{1j} x_{ij} + e_{ij} \\ &= \beta_{0j} + \beta_{1j} x_{ij} + e_{ij} \end{align}$

β_{0 j} = β_{0} + u_{0 j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_{0j}$

β_{1 j} = β_{1} + u_{1 j}

$\beta_{1j}=\beta_1+u_{1j}$

для модели случайных перехватов и модели случайного наклона + случайных перехватов соответственно.

Я также натолкнулся на эту матричную / векторную нотацию, которая, как мне сказали, была «нотацией смешанной модели для взрослых» (по словам моего старшего брата):

где - фиксированные эффекты, а - случайные эффекты.

y = X β + Z b + e

$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta} + \mathbf{Z b} + \mathbf{e}$

β

$\mathbf{\beta}$

b

$\mathbf{b}$

Если я правильно понял, последнее обозначение является более общим обозначением для первого, которые являются конкретными версиями последнего.

Я хотел бы видеть, как первое может быть получено из последнего.

mixed-model mathematical-statistics

— Джо Кинг
источник

Вы спрашиваете об объяснении матричной записи? Причина, по которой я спрашиваю, состоит в том, что этот вопрос не нуждается в каком-либо математическом выводе: все ваши формулы говорят об одних и тех же вещах, и соотносить их друг с другом - просто вопрос понимания того, как работает матричная запись.

— whuber

@whuber В некоторой степени я понимаю матричную нотацию и матричную алгебру. Но я не знаю, как начать с матричной формы и перейти к другим формам. Возможно, я не понимаю кое-что о матрицах X и Z, но я просто надеялся, что кто-то это объяснит.

— Джо Кинг,

@whuber Есть ли что-то, что я могу сделать, чтобы улучшить вопрос, или ты говоришь, что это настолько просто, что не заслуживает ответа?

— Джо Кинг,

@JoeKing: я думаю, что он говорит, что матричная запись по определению эквивалентна вашей нематричной записи. То есть у вас уже есть

(матрица ixj умножается на матрицу jx1, что дает матрицу ix1

), которая равна

. (Вы можете свернуть

, включив 1 в

)

x_{i j} β_{i}

$x_{ij}\beta_i$

y_{i}

$y_i$

y = X β

$y=X\beta$

β_{0}

$\beta_0$

β

$\beta$

X

$X$

— Уэйн

@ Уэйн обе модели имеют случайные и фиксированные эффекты. Первый имеет случайный перехват, а второй имеет случайный перехват и случайный наклон. Если бы я мог сам разобраться, я бы не стал задавать вопрос здесь !!!!

— Джо Кинг,

Мы рассматриваем смешанную модель со случайными наклонами и случайными перехватами. Учитывая, что у нас есть только один регрессор, эту модель можно записать в виде где обозначает - Наблюдение за группой ответа, а и

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

i

$i$

j

$j$

x_{i j}

$x_{ij}$

ϵ_{i j}

$\epsilon_{ij}$ соответствующий предиктор и термин ошибки.

Эта модель может быть выражена в матричной записи следующим образом:

что эквивалентно

Y = X β + Zb + ϵ,

$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\beta + \textbf{Zb} + \epsilon,$

Y = [\begin{matrix} X & Z \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b \end{matrix}] + ϵ

$\mathbf{Y}= \begin{bmatrix} \mathbf{X} & \textbf{Z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta\\ \mathbf{b} \end{bmatrix}+ \epsilon$

Предположим, что у нас есть групп, т.е. и пусть обозначает число наблюдений в группе. Разделив для каждой группы, мы можем написать выше формулу как $J$ $j=1,\dots,J$ $n_j$ $j$

[\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ ⋮ \\ Y_{J} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X_{1} & Z_{1} & 0 & 0 & 0 \\ X_{2} & 0 & Z_{2} & 0 & 0 \\ ⋮ & \dots \\ X_{J} & 0 & 0 & 0 & Z_{J} \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{J} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ⋮ \\ ϵ_{J} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \mathbf{Y_1} \\ \mathbf{Y_2} \\ \vdots \\ \mathbf{Y_J} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{X_1} & \mathbf{Z_1} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{X_2} & 0 & \mathbf{Z_2} & 0 & 0 \\ \vdots & & & \dots & \\ \mathbf{X_J} & 0 & 0 & 0 & \mathbf{Z_J} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_J \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_J \end{bmatrix}$

$\mathbf{Y_j}$ $n_j \times 1$ $j$ $\mathbf{X_j}$ $\mathbf{Z_j}$ $n_j \times 2$ $\epsilon_j$ $n_j \times 1$

Выписывая их, мы имеем:

$\mathbf{Y_j} = \begin{bmatrix} y_{1j}\\ y_{2j}\\ \vdots \\ y_{n_jj} \end{bmatrix}, \mathbf{X_j}=\mathbf{Z_j}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1j} \\ 1 & x_{2j} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n_jj} \end{bmatrix}$ $\epsilon_j = \begin{bmatrix} \epsilon_{1j}\\ \epsilon_{2j}\\ \vdots \\ \epsilon_{n_jj} \end{bmatrix}.$

Векторы коэффициента регрессии тогда

$\beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{pmatrix}$ $b_j=\begin{pmatrix} u_{0j}\\ u_{1j} \end{pmatrix}$

$j$

Y_{j} = X_{j} β + Z_{j} b_{j} + ϵ_{j}

$\mathbf{Y_j} = \mathbf{X_j} \beta + \mathbf{Z_j}b_j + \epsilon_j$

$i$

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

i

$i$

1

$1$

n_{j}

$n_j$

— Филипп Буркхардт
источник

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$