Как оценить пуассоновский процесс с помощью R? (Или: как использовать пакет NHPoisson?)

У меня есть база данных событий (то есть переменная дат) и связанных ковариат.

События генерируются нестационарным пуассоновским процессом с параметром, являющимся неизвестной (но, возможно, линейной) функцией некоторых ковариат.

Я думаю, что пакет NHPoisson существует только для этой цели; но после 15 часов безуспешных исследований мне все еще далеко не узнать, как им пользоваться.

Черт возьми, я даже пытался читать обе упомянутые книги: Coles, S. (2001). Введение в статистическое моделирование экстремальных значений. Springer. Казелла Г. и Бергер Р.Л. (2002). Статистические выводы. Brooks / Cole.

Один единственный пример в документации к fitPP.fun, кажется, не подходит под мои настройки; У меня нет экстремальных ценностей! У меня просто голые события.

Может ли кто-нибудь помочь мне с простым примером подгонки пуассоновского процесса к параметру с одной ковариатой и предположением, что ? Я заинтересован в оценке и \ alpha . Я предоставляю набор данных из двух столбцов с временами событий (скажем, измеренными в секундах после некоторого произвольного времени t_0 ) и другой столбец со значениями ковариат X ?$\lambda$$X$$\lambda = \lambda_0 + \alpha \cdot X$$\lambda_0$$\alpha$$t_0$$X$

Подгонка стационарного пуассоновского процесса

Прежде всего важно понять, какой тип входных данных нужен NHPoisson.

Прежде всего, NHPoisson нужен список показателей моментов событий. Если мы записываем интервал времени и количество событий в интервале времени, то мы должны перевести его в один столбец дат, возможно, «размывая» даты за интервал, в который они записаны.

Для простоты я предполагаю, что мы используем время, измеренное в секундах, и что «секунда» является естественной единицей .$\lambda$

Давайте смоделируем данные для простого стационарного пуассоновского процесса, который имеет событие в минуту:$\lambda=1$

lambda=1/60 #1 event per minute
time.span=60*60*24 #24 hours, with time granularity one second

aux<-simNHP.fun(rep(lambda,time.span))

Это simNHP.funделает симуляцию. Мы используем для получения aux$posNHпеременную с индексами моментов срабатывания имитируемого события. Мы можем видеть, что у нас примерно 60 * 24 = 1440 событий, проверяя `length (aux $ posNH).

Теперь давайте перепроектируем с помощью :$\lambda$fitPP.fun

out<-fitPP.fun(posE=aux$posNH,n=time.span,start=list(b0=0)) # b0=0 is our guess at initial value for optimization, which is internally made with `nlminb` function

Поскольку функция принимает только индексы событий, ей также необходимо определить количество возможных индексов. И это очень запутанная часть , потому что в истинном пуассоновском процессе возможно иметь бесконечное число возможных событий (если только ). Но с точки зрения нам нужно выбрать достаточно малую единицу времени. Мы выбираем его настолько маленьким, что можем принять максимум одно событие за единицу времени.$\lambda>0$fitPP

Итак, что мы делаем на самом деле, так это то, что мы приближаем процесс Пуассона с гранулярной последовательностью биномиальных событий, каждое событие охватывает ровно одну единицу времени, по аналогии с механизмом, в котором распределение Пуассона можно рассматривать как предел биномиального распределения в законе. редких событий .

Как только мы это поймем, остальное станет намного проще (по крайней мере, для меня).

Для того, чтобы получить приближение нашего мне нужно взять показатель подогнанной параметра , . И вот приходит еще одна важная часть информации, которая отсутствует в руководстве : с мы вписываемся в логарифм от Х , а не Л себя.$\lambda$betaexp(coef(out)[1])NHPoisson$\lambda$$\lambda$

Фиттинг нестационарного пуассоновского процесса

NHPoisson подходит для следующей модели:

$\lambda = \exp(\vec{P}^T \cdot \vec{\beta} )$

$\vec{P}$$\lambda$

Теперь давайте подготовим нестационарный пуассоновский процесс.

time.span=60*60*24 #24 hours, with time granularity one second
all.seconds<-seq(1,time.span,length.out=time.span)
lambdas=0.05*exp(-0.0001*all.seconds) #we can't model a linear regression with NHPoisson. It must have the form with exp.
aux<-simNHP.fun(lambdas)

Точно так же, как и раньше, aux$posNHмы получим индексы событий, но на этот раз мы заметим, что интенсивность событий экспоненциально уменьшается со временем. И скорость этого уменьшения - это параметр, который мы хотим оценить.

out<-fitPP.fun(tind=TRUE,covariates=cbind(all.seconds),
        posE=aux$posNH,
        start=list(b0=0,b1=0),modSim=TRUE)

Важно отметить, что мы должны ставить all.secondsкак ковариату, а не lambdas. Возведение в степень / логарифмизация выполняется внутри fitPP.fun. Кстати, кроме прогнозируемых значений, функция по умолчанию составляет два графика.

Последняя часть - это функция швейцарского ножа для проверки модели globalval.fun.

aux<-globalval.fun(obFPP=out,lint=2000,
        covariates=cbind(all.seconds),typeI='Disjoint',
        typeRes='Raw',typeResLV='Raw',resqqplot=FALSE)

Помимо прочего, функция делит время на интервалы, каждая из которых имеет lintдлительность выборки, поэтому можно создавать грубые графики, которые сравнивают прогнозируемую интенсивность с наблюдаемой интенсивностью.