Плотность роботов, совершающих случайные прогулки по бесконечному случайному геометрическому графу

Рассмотрим бесконечный случайный геометрический граф, в котором положения узлов следуют за пуассоновским точечным процессом с плотностью а ребра располагаются между узлами, которые ближе, чем . Следовательно, длина ребер соответствует следующему PDF: $\rho$ $d$

f (l) = {\begin{cases} \frac{2 l}{d^{2}} l \leq d \\ 0 l > d \end{cases}

$f(l)= \begin{cases} \frac{2 l}{d^2} \;\quad l \le d \\ 0 \qquad\; l > d \end{cases}$

На приведенном выше графике рассмотрим узлы внутри круга радиуса центром в начале координат. Предположим, что в момент времени мы помещаем крошечного робота внутри каждого из упомянутых узлов. То есть плотность роботов на плоскости определяется как: $r$ $t=0$

где- расстояние от начала координат. На следующем рисунке показан пример первоначального размещения роботов.

g (l) = {\begin{cases} ρ l \leq r \\ 0 l > d \end{cases}

$g(l)= \begin{cases} \rho \quad l \le r \\ 0 \quad\; l > d \end{cases}$

l

$l$

пример

На каждом временном шаге роботы случайным образом переходят к одному из соседей.

$t>0$ $t \rightarrow \infty$

Извините, ребята, я ни в коем случае не математик. Пожалуйста, дайте мне знать, если что-то неясно.

— гелий
источник

Ищите книги Вольфганга Весса как редактора или автора. Недавняя коллекция: Случайные прогулки, границы и спектры. Birkhauser, 2011. С 2000 г. (Cambridge Univ.Press): Случайные блуждания на бесконечных графах и группах.

— Охотник на оленей

Спасибо, Охотник. Я быстро взглянул на его книгу 2011 года, но ничего не нашел. У меня нет доступа к 2000-му прямо сейчас, но я посмотрю его, как только найду. Пожалуйста, дайте мне знать, если вы помните что-нибудь более конкретное из книг.

— Гелий

Вот начало.

$r = d/2$

$t$ $n = 1 + 4t + 2t(t-1)$ $t$ $A_t$ $n \times n$ $n$ $e_{i,t} \in \{0,1\}^n$ $0$ $1$ $i$ $A_t$ $i$ $t$ $e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$ $A^t = A \times A \cdots \times A$ $A$ $t$ $\cal L_1$

$t$ $r(t+1)$ $0$ $t$ $q$ $t$ $(x,y)$ $t$ $f_t(x,y)$ $f_t$ $r$ $X$

$U$ $M$ $MU + X$

$X$

— user1448319
источник

t

$t$

t = 0

$t = 0$

t = 1

$t = 1$

t = 2

$t = 2$

t^{2}

$t^2$

n = 1 + 4 t + 2 (t - 1)^{2}

$n = 1 + 4t + 2(t-1)^2$

n = 1 + 4 t + 2 t (t - 1) = 1 + 2 t + 2 t^{2}

$n= 1 + 4t + 2t(t-1) = 1 + 2t + 2t^2$

1

$1$

+ 4 t

$+4t$

+ 2 t (t - 1)

$+2t(t-1)$

t = 2

$t=2$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0), (2, 0)

$(1,0), (2, 0)$

(1, 1)

$(1,1)$

(1, 0)

$(1,0)$

Z^{2}

$\mathbb Z^2$

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

A_{t}

$A_t$

$n=1+4t+2(t−1)^2$ $t$