Связаны ли случайные переменные тогда и только тогда, когда их ранги коррелированы?

Предположим, что - непрерывные случайные величины с конечными вторыми моментами. Популяционная версия рангового коэффициента корреляции Спирмена ρ_s может быть определена как коэффициент произведения-момента Пирсона ρ для интегралов вероятности F_X (X) и F_Y (Y) , где F_X, F_Y - это cdf для X и Y , т.е.$X,Y$F X (X) F Y (Y) F X , F Y X$ρ_s$$F_X(X)$$F_Y(Y)$$F_X,F_Y$$X$$Y$

$ρ_s(X,Y)=ρ(F(X),F(Y))$ .

Интересно, можно ли вообще сделать вывод, что

$ρ(X,Y)≠0↔ρ(F(X),F(Y))≠0$ ?

Т.е. имеем ли мы линейную корреляцию тогда и только тогда, когда имеем линейную корреляцию между рангами?

Обновление: в комментариях приведены два примера, почему

$\rho(F_X(X),F_Y(Y))=0\rightarrow \rho(X,Y) = 0$

в общем случае неверно, даже если $X$ и $Y$ имеют одинаковое распределение. Таким образом, вопрос должен быть переформулирован как

$\rho(X,Y) = 0 \rightarrow \rho(F_X(X),F_Y(Y))$ ?

Мне также очень интересно, является ли это истинным / ложным, если $X$ и $Y$ имеют одинаковое распределение.

(Примечание: если $X$ и $Y$ положительно зависят от квадранта, т. $δ(x,y)=F_{X,Y}(x,y)−F_X(x)F_Y(y)>0$ то ковариационная формула $Cov(X,Y)=∫∫δ(x,y)dxdy$ что $ρ(X,Y)>0$ и $ρ(F(X),F(Y))>0$ )

Нулевая корреляция не обязательно говорит вам многое о другой, так как они «взвешивают» данные - особенно экстремальные - совершенно по-разному. Я просто собираюсь поиграть с образцами, но похожие примеры можно построить с помощью двумерных распределений / связок.

1. Корреляция Спирмена 0 не подразумевает корреляцию Пирсона 0 :

Как уже упоминалось в вопросе, в комментариях есть примеры, но основная структура такова: «построить случай, когда корреляция Спирмена равна 0, затем взять крайнюю точку и сделать ее более экстремальной, не изменяя корреляцию Спирмена»

Примеры в комментариях это очень хорошо освещают, но я просто собираюсь поиграть с более «случайным» примером здесь. Итак, рассмотрим эти данные (в R), которые по построению имеют корреляцию Спирмена и Пирсона 0:

x=c(0.660527211673069, 0.853446087136149, -0.00673848667511427, 
-0.730570343152498, 0.0519171047989013, 0.00190761493801791, 
-0.72628058443299, 2.4453231076856, -0.918072410495674, -0.364060229489348, 
-0.520696233492491, 0.659907250608776)
y=c(-0.0214697990371976, 0.255615059485107, 1.10561181413232, 0.572216886959267, 
-0.929089680725018, 0.530329993414123, -0.219422799586819, -0.425186120279194, 
-0.848952532832652, 0.859700836483046, -0.00836246690850083, 
1.43806947831794)

cor(x,y);cor(x,y,method="sp")
[1] 1.523681e-18
[1] 0

Теперь добавьте 1000 к y [12] и вычтите 0,6 из x [9]; корреляция Спирмена не изменилась, но корреляция Пирсона теперь составляет 0,1841:

  ya=y
  ya[12]=ya[12]+1000
  xa=x
  xa[9]=xa[9]-.6
  cor(xa,ya);cor(xa,ya,method="sp")
[1] 0.1841168
[1] 0

(Если вы хотите сильно повлиять на эту корреляцию Пирсона, просто скопируйте всю выборку несколько раз.)

2. Корреляция Пирсона 0 не подразумевает корреляцию Спирмена 0 :

Вот два примера с нулевой корреляцией Пирсона, но с ненулевой корреляцией Спирмена (и снова, если вы хотите иметь сильное значение для этих корреляций Спирмена, просто скопируйте всю выборку несколько раз).

Пример 1:

 x1=c(rep(-3.4566679074320789866,20),-2:5)
 y1=x1*x1
 cor(x1,y1);cor(x1,y1,method="spe")
[1] -8.007297e-17 
[1] -0.3512699   

Пример 2:

 k=16.881943016134132 
 x2=c(-9:9,-k,k)
 y2=c(-9:9,k,-k)
 cor(x2,y2);cor(x2,y2,method="spe")
[1] -9.154471e-17
[1] 0.4805195

В этом последнем примере корреляция Спирмена может быть усилена путем добавления большего количества точек на y = x, в то же время делая две точки в верхнем левом и нижнем правом углу более экстремальными, чтобы поддерживать корреляцию Пирсона на 0.