Существуют ли асимптотики третьего порядка?

Большинство асимптотических результатов в статистике доказывают, что при оценка (такая как MLE) сходится к нормальному распределению, основанному на разложении функции правдоподобия Тейлора второго порядка. Я полагаю, что в байесовской литературе есть аналогичный результат, «Байесовская центральная предельная теорема», которая показывает, что апостериорный апостериор сходится к нормали при n → $n \rightarrow \infty$$n \rightarrow \infty$

Мой вопрос - сходится ли распределение к чему-то «до того», как оно станет нормальным, основываясь на третьем члене ряда Тейлора? Или это вообще невозможно сделать?

Вы ищете серию Edgeworth, не так ли?

http://en.wikipedia.org/wiki/Edgeworth_series#Edgeworth_series

(обратите внимание, что Эджуорт умер в 1926 году, должно быть, в самых известных статистиков?)

Последовательность не может «сходиться» к одному, а затем к другому. Члены высшего порядка в асимптотическом разложении будут стремиться к нулю. Они говорят вам, насколько они близки к нулю для любого заданного значения .$n$

Для центральной предельной теоремы (в качестве примера) подходящим является расширение логарифма характеристической функции: производящей функции кумулянта (cgf). Стандартизация распределений фиксирует нулевой, первый и второй члены cgf. Остальные члены, коэффициенты которых являются кумулянтами , зависят от упорядоченным образом. Стандартизации , что происходит в ЦПТ (деления суммы п случайных величин чем - то , пропорциональной п 1 / 2 --without , который не будет происходить сходимость) приводит к тому , м е кумулянт - которые в конечном счете , зависит от т - й минуты - к разделить на ( $n$$n$$n^{1/2}$$m^\text{th}$$m^\text{th}$ , но в то же самое времяпотому что мы суммированиептермины, чистый результатом является точто м - й срока порядка пропорциональнап / п м / 2 = п - ( т - 2 ) / 2 . Таким образом, третий кумулянт стандартизированной суммы пропорционален1 / п 1 / 2 , четвертый кумулянт пропорциональна1 /$(n^{1/2})^m = n^{m/2}$$n$$m^\text{th}$$n/n^{m/2} = n^{-(m-2)/2}$$1/n^{1/2}$$1/n$, и так далее. Это члены высшего порядка. (Подробности см. В этой статье Ювала Фильмуса, например.)

$n$$n$$n$$n$$1/n^{1/2}$$1/n$термин - это более мелкая, более быстро исчезающая коррекция, добавленная к этому, и так далее. Вкратце, дополнительные термины дают представление о том, как быстро последовательность приближается к своему пределу.

$n$$1/n^{1/2}$

Вот попытка ответить на ваш проницательный вопрос. Я видел включение 3-го члена ряда Тейлора для увеличения скорости сходимости ряда к истинному распределению. Тем не менее, я не видел (в своем ограниченном опыте) использование третьего и более высоких моментов.

Как указал Джон Д. Кук в своих блогах ( здесь и здесь ), не было проделано большой работы в этом направлении, кроме теоремы Берри-Эссеена . Мое предположение было бы (из наблюдения в блоге об ошибке аппроксимации, ограниченной$n^{1/2}$), поскольку асимптотическая нормальность mle гарантируется при скорости схода $n^{1/2}$ ($n$(размер выборки), учитывая более высокие моменты, результат нормальности не улучшится.

Поэтому, думаю, ответ на ваш вопрос должен быть нет . Асимптотическое распределение сходится к нормальному дист. (По CLT, в условиях регулярности CLT Линдберга). Однако использование членов более высокого порядка может увеличить скорость сходимости к асимптотическому распределению.

Определенно не моя область, но я уверен, что асимптотики третьего и высшего порядка существуют. Это какая-то помощь?

Роберт Л. Страудерман. Асимптотическая аппроксимация высшего порядка: Laplace, Saddlepoint и смежные методы Журнал Американской статистической ассоциации Vol. 95, No. 452 (Dec., 2000), pp. 1358-1364.