Является ли MLE из асимптотически нормальным, когда ?

Предположим, что имеет PDF $(X,Y)$

f_{θ} (x, y) = e^{- (x / θ + θ y)} 1_{x > 0, y > 0}, θ > 0

$f_{\theta}(x,y)=e^{-(x/\theta+\theta y)}\mathbf1_{x>0,y>0}\quad,\,\theta>0$

Плотность выборки взятой из этой совокупности, поэтому $(\mathbf X,\mathbf Y)=(X_i,Y_i)_{1\le i\le n}$

\begin{aligned} g_{θ} (x, y) & = \prod_{i = 1}^{n} f_{θ} (x_{i}, y_{i}) \\ = \exp [- \sum_{i = 1}^{n} (\frac{x_{i}}{θ} + θ y_{i})] 1_{x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{n} > 0} \\ = \exp [- \frac{n \bar{x}}{θ} - θ n \bar{y}] 1_{x_{(1)}, y_{(1)} > 0}, θ > 0 \end{aligned}

$\begin{align} g_{\theta}(\mathbf x,\mathbf y)&=\prod_{i=1}^n f_{\theta}(x_i,y_i) \\&=\exp\left[{-\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}{\theta}+\theta y_i\right)}\right]\mathbf1_{x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n>0} \\&=\exp\left[-\frac{n\bar x}{\theta}-\theta n\bar y\right]\mathbf1_{x_{(1)},y_{(1)}>0}\quad,\,\theta>0 \end{align}$

Оценка максимального правдоподобия может быть получена как $\theta$

\hat{θ} (X, Y) = \sqrt{\frac{\bar{X}}{\bar{Y}}}

$\hat\theta(\mathbf X,\mathbf Y)=\sqrt\frac{\overline X}{\overline Y}$

Я хотел бы знать, является ли предельное распределение этого MLE нормальным или нет.

Ясно, что достаточной статистикой для на основе выборки является . $\theta$ $(\overline X,\overline Y)$

Теперь я бы сказал, что MLE асимптотически нормален, без сомнения, если бы он был членом регулярного однопараметрического экспоненциального семейства. Я не думаю, что это так, отчасти потому, что у нас есть двумерная достаточная статистика для одномерного параметра (как, например, в распределении ). $N(\theta,\theta^2)$

Используя тот факт, что и на самом деле являются независимыми экспоненциальными переменными, я могу показать, что точное распределение таково, что $X$ $Y$ $\hat\theta$

\frac{\hat{θ}}{θ} \overset{d}{=} \sqrt{F}, where F \sim F_{2 n, 2 n}

$\frac{\hat\theta}{\theta}\stackrel{d}{=} \sqrt F\quad,\text{ where }F\sim F_{2n,2n}$

Я не могу продолжить, чтобы найти предельное распределение отсюда.

Вместо этого я могу утверждать, что WLLN и , так что , $\overline X\stackrel{P}\longrightarrow\theta$ $\overline Y\stackrel{P}\longrightarrow 1/\theta$ $\hat\theta\stackrel{P}\longrightarrow\theta$

Это говорит мне, что сходится в распределении к . Но это не является сюрпризом, так как является "хорошей" оценкой . И этот результат недостаточно силен, чтобы сделать вывод, является ли что-то вроде асимптотически нормальным или нет. Я не мог придумать разумный аргумент, используя CLT либо. $\hat\theta$ $\theta$ $\hat\theta$ $\theta$ $\sqrt n(\hat\theta-\theta)$

Таким образом, остается вопрос, удовлетворяет ли родительское распределение здесь условиям регулярности для нормального предельного распределения MLE.

— StubbornAtom
источник

Опытным путем это кажется очень близким к нормальному. Возможно, вам будет проще установить в (это только масштабный коэффициент), а затем рассмотреть вопрос о том, является ли распределение квадратного корня из отношения средних значений выборки случайных величин экспоненты асимптотически нормальным. Используя дельта-метод, это соответствует распределению отношения средних выборок экспоненциальных случайных величин, являющихся асимптотически нормальными. И это соответствует распределению отношения двух случайных величин гамма-излучения, которое асимптотически нормально по мере увеличения параметра формы.

θ

$\theta$

1

$1$

— Генри

Асимптотическая нормальность MLE не имеет ничего общего с экспоненциальными семействами. Интуитивно понятно, что для удержания асимптотической нормальности вам просто нужно убедиться, что нет никаких шансов, что решение окажется вблизи границы пространства параметров.

— whuber

@whuber Насколько я знаю, PDF-файлы, которые являются членами канонического экспоненциального семейства, почти всегда имеют MLE, которые асимптотически нормальны (не потому, что это связано с семейством exp). Это та связь, которую я пытался указать.

— StubbornAtom

Правильно: но связь односторонняя. Асимптотические результаты для MLE являются гораздо более общими, и поэтому я пытался предположить, что поиск в этом общем направлении, а не сосредоточение внимания на свойствах экспоненциальных семейств, может быть более плодотворным исследованием.

— whuber

Доказательство с использованием многомерного CLT и дельта-метода также возможно, как это сделано здесь .

— StubbornAtom

Прямое доказательство асимптотической нормальности:

Логарифмическая вероятность здесь

L = - \frac{n \bar{x}}{θ} - θ n \bar{y}

$L = -\frac {n \bar x}{\theta} - \theta n \bar y$

Первое и второе производные

\frac{\partial L}{\partial θ} = \frac{n \bar{x}}{θ^{2}} - n \bar{y}, \frac{\partial^{2} L}{\partial θ^{2}} = - \frac{2 n \bar{x}}{θ^{3}}

$\frac {\partial L}{\partial \theta } = \frac {n \bar x}{\theta^2} - n\bar y,\;\;\;\frac {\partial^2 L}{\partial \theta^2 } = -\frac {2n \bar x}{\theta^3}$

MLE удовлетворяет $\hat \theta_n$

\frac{\partial L ({\hat{θ}}_{n})}{\partial θ} = 0

$\frac {\partial L(\hat \theta_n)}{\partial \theta }=0$

Применяя расширение среднего значения к истинному значению мы имеем $\theta_0$

\frac{\partial L ({\hat{θ}}_{n})}{\partial θ} = \frac{\partial L (θ_{0})}{\partial θ} + \frac{\partial^{2} L ({\tilde{θ}}_{n})}{\partial θ^{2}} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) = 0

$\frac {\partial L(\hat \theta_n)}{\partial \theta } = \frac {\partial L(\theta_0)}{\partial \theta } + \frac {\partial^2 L(\tilde \theta_n)}{\partial \theta^2 }(\hat \theta_n - \theta_0) =0$

для некоторого между и . Перестройка у нас есть, $\tilde \theta_n$ $\hat \theta_n$ $\theta_0$

({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) = - {(\frac{\partial^{2} L ({\tilde{θ}}_{n})}{\partial θ^{2}})}^{- 1} \frac{\partial L (θ_{0})}{\partial θ}

$(\hat \theta_n - \theta_0) = -\left(\frac {\partial^2 L(\tilde \theta_n)}{\partial \theta^2 }\right)^{-1}\frac {\partial L(\theta_0)}{\partial \theta }$

Но в нашем случае с одним параметром обратное является просто обратным, поэтому, вставляя также конкретные выражения производных,

({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) = \frac{{\tilde{θ}}_{n}^{3}}{2 n \bar{x}} (\frac{n \bar{x}}{θ_{0}^{2}} - n \bar{y})

$(\hat \theta_n - \theta_0) = \frac {\tilde \theta^3_n}{2n\bar x}\left(\frac {n \bar x}{\theta^2_0} - n\bar y\right)$

⟹ \sqrt{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) = \frac{{\tilde{θ}}_{n}^{3}}{2 \bar{x} θ_{0}^{2}} \sqrt{n} \cdot (\bar{x} - θ_{0}^{2} \bar{y})

$\implies \sqrt{n}(\hat \theta_n - \theta_0) = \frac {\tilde \theta^3_n}{2\bar x \theta_0^2}\sqrt{n}\cdot\left(\bar x - \theta_0^2\bar y \right)$

⟹ \sqrt{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) = \frac{{\tilde{θ}}_{n}^{3}}{2 \bar{x} θ_{0}^{2}} \cdot (n^{- 1 / 2} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - θ_{0}^{2} y_{i}))

$\implies \sqrt{n}(\hat \theta_n - \theta_0) = \frac {\tilde \theta^3_n}{2\bar x \theta_0^2}\cdot\left (n^{-1/2}\sum_{i=1}^n(x_i-\theta_0^2 y_i)\right)$

Дисперсия суммы

Var (\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - θ_{0}^{2} y_{i})) = 2 n θ_{0}^{2}

$\text{Var}\left(\sum_{i=1}^n(x_i-\theta_0^2 y_i)\right) = 2n\theta_0^2$

Управляя выражением, которое мы можем написать, используя для суммы элементов iid, $S_n$

\sqrt{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) = (\frac{{\tilde{θ}}_{n}^{3}}{\sqrt{2} \bar{x} θ_{0}}) \cdot \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - θ_{0}^{2} y_{i})}{\sqrt{n} \sqrt{2} θ_{0}}

$\sqrt{n}(\hat \theta_n - \theta_0) = \left(\frac {\tilde \theta^3_n}{\sqrt{2}\bar x \theta_0}\right)\cdot\frac {\sum_{i=1}^n(x_i-\theta_0^2 y_i)}{\sqrt{n}\sqrt{2}\theta_0}$

\sqrt{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) = (\frac{{\tilde{θ}}_{n}^{3}}{\sqrt{2} \bar{x} θ_{0}}) \cdot \frac{S_{n}}{\sqrt{Var (S_{n})}}

$\sqrt{n}(\hat \theta_n - \theta_0) = \left(\frac {\tilde \theta^3_n}{\sqrt{2}\bar x \theta_0}\right)\cdot\frac {S_n}{\sqrt{\text{Var}(S_n)}}$

Более того, мы имеем , поэтому . Таким образом, у нас есть предмет классического CLT, и можно проверить, что условие Линдеберга выполнено. Это следует из того $E(x_i-\theta_0^2 y_i) = 0$ $E(S_n)=0$

\frac{S_{n}}{\sqrt{Var (S_{n})}} \to_{d} N (0, 1)

$\frac {S_n}{\sqrt{\text{Var}(S_n)}} \to_d N(0,1)$

Из-за непротиворечивости оценки, мы также имеем

(\frac{{\tilde{θ}}_{n}^{3}}{\sqrt{2} \bar{x} θ_{0}}) \to_{p} \frac{θ_{0}}{\sqrt{2}}

$\left(\frac {\tilde \theta^3_n}{\sqrt{2}\bar x \theta_0}\right) \to_p \frac{\theta_0}{\sqrt{2}}$

и по теореме Слуцкого мы приходим к

\sqrt{n} ({\hat{θ}}_{n} - θ_{0}) \to_{d} N (0, θ_{0}^{2} / 2)

$\sqrt{n}(\hat \theta_n - \theta_0) \to_d N (0, \theta_0^2/2)$

Ницца. Удвоение информации, половина дисперсии (по сравнению со случаем, когда мы будем оценивать на основе выборки из одной случайной величины). $\theta_0$

PS: тот факт, что в приведенных выше выражениях появляется в знаменателе, указывает на комментарий @ whuber о том, что асимптотической нормальности MLE требуется, чтобы неизвестный параметр находился далеко от границы пространства параметров (в нашем случае, от нуля). $\theta_0$

— Алекос Пападопулос
источник

Извините за задержку с ответом. Все это время я размышлял о том, является ли это изогнутой экспоненциальной семьей, и поэтому MLE может вести себя по-другому.

— StubbornAtom

@StubbornAtom Асимптотическая нормальность, безусловно, теряется, когда оцениваемый параметр находится на границе параметра (довольно интуитивный результат, если подумать).

— Алекос Пападопулос