Какие процессы могут генерировать распределенные по Лапласу (двойные экспоненциальные) данные или параметры?

16

У многих дистрибутивов есть «мифы происхождения» или примеры физических процессов, которые они хорошо описывают:

Вы можете получить нормально распределенные данные из сумм некоррелированных ошибок через центральную предельную теорему
Вы можете получить биномиально распределенные данные из независимых подбрасываний монет или распределений Пуассона из предела этого процесса
Вы можете получить экспоненциально распределенные данные из времени ожидания при постоянной скорости затухания.

И так далее.

Но как насчет распределения Лапласа ? Это полезно для регуляризации L1 и регрессии LAD , но мне трудно думать о ситуации, когда на самом деле следует ожидать увидеть это в природе. Диффузия будет гауссовой, и все примеры, которые я могу придумать с экспоненциальным распределением (например, время ожидания), включают неотрицательные значения.

distributions laplace-distribution

— Дэвид Дж. Харрис
источник

2

Связанный: stats.stackexchange.com/questions/71126/… .

— StubbornAtom

14

В нижней части страницы Википедии, на которую вы ссылаетесь, есть несколько примеров:

Если и - экспоненциальные распределения IID, имеет распределение Лапласа. $X_1$ $X_2$ $X_1 - X_2$
Если являются стандартными нормальными распределениями IID, имеет стандартное распределение Лапласа. Таким образом, определитель случайной матрицы со стандартными нормальными элементами IID имеет распределение Лапласа. $X_1, X_2, X_3, X_4$ $X_1X_4 - X_2X_3$ $2\times 2$ $\begin{pmatrix}X_1 & X_2 \\\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}$
Если одинаковы по IID на , то $X_1, X_2$ $[0,1]$ имеет стандартное распределение Лапласа. $\log \frac{X_1}{X_2}$

— Дуглас Заре
источник

16

+1 Возможно, стоит заметить, что все три примера действительно одинаковы: # 2 можно переписать как

, масштабированная разность двух масштабированных

((X_{1} + X_{4})^{2} + (X_{2} + X_{3})^{2} - [(X_{1} - X_{4})^{2} + (X_{2} - X_{3})^{2}]) / 4

$((X_1+X_4)^2 + (X_2+X_3)^2 - [(X_1-X_4)^2 + (X_2-X_3)^2])/4$

χ^{2} (2)

$\chi^2(2)$

\log (X_{i})

$\log(X_i)$

2

0

$0$

2

Поэтому я пытаюсь придумать «историю», которая бы подходила к любому из примеров в Википедии. Скажем, я играю в пинбол с таким же паршивым братом. В каждой игре мы играем по одному мячу. Примерно в любой данный момент есть равный шанс, что я (или он) потеряю мяч, и счет в основном линейной функции от того, как долго я играю. Тогда мой счет (и его) можно смоделировать с помощью экспоненциального распределения, и разница между мной и моим братом в каждом раунде будет распределяться по Лапласу. Вроде работает?

— Расмус Батх

2

$N_p$ $X_N = \sum_i^{N_p} X_i$ $N_p$ $p$ $X_i$ $\mu$ $v$

$p\to 0$

$Y:= \lim_{p\to 0} \sqrt{p} (X_N - N_p\mu) = Laplace(0,\sqrt{\frac{v}{2}})$

The density of the $Laplace(a,b)$ is $\phi(x) = \frac{1}{2b} \exp\left( - \frac{|x-a|}{2b}\right)$

B.V Gnedenko, Limit theorems for Sums of random number of positive independent random variables, Proc. 6th Berkeley Syposium Math. Stat. Probabil. 2, 537-549, 1970.

— danp
источник