Границы разности коррелированных случайных величин

Учитывая две сильно коррелированные случайные величины и , я хотел бы ограничить вероятность того, что разностьпревышает некоторое количество: $X$ $Y$ $|X - Y|$

P (| X - Y | > K) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

Для простоты предположим, что:

Коэффициент корреляции известен как «высокий», скажем: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
$X,Y$ означают ноль: $\mu_x = \mu_y = 0$
$-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (или если это проще) $0 \leq x_i, y_i \leq 1$
(Если это облегчает задачу, скажем, имеют одинаковую дисперсию: ) $X,Y$ $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$

Не уверен, насколько это возможно, чтобы получить ограничение на разницу, учитывая только вышеупомянутую информацию (я, конечно, не мог получить где-нибудь). Было бы неплохо конкретное решение (если таковое имеется), обязательные дополнительные ограничения на дистрибутивы или просто рекомендации по подходу.

correlation mathematical-statistics bounds

— Avanti89
источник

Даже без этих упрощающих допущений можно получить оценку, комбинируя несколько обычных инструментов:

Дисперсия разности двух коррелированных переменных . Это позволяет нам превратить проблему двух переменных в одномерную задачу.
Неравенство Чебышева . Это накладывает ограничение на вероятность превышения данного значения.

В некоторых деталях:

σ_{Икс - Y}^{2} знак равно σ_{Икс}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot с о v (Икс, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

с о v (Икс, Y) знак равно σ_{Икс} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{Икс Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{Икс - Y}^{2} знак равно σ_{Икс}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{Икс} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{Икс, Y}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

Согласно неравенству Чебышева, для любой случайной величины : $Z$

Pr (| Z - μ | \geq К σ) \leq \frac{1}{К^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Затем (и используя это : $\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

Pr (| Икс - Y - μ_{Икс} + μ_{Y} | \geq К \cdot \sqrt{σ_{Икс}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{Икс} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{Икс, Y}}) \leq \frac{1}{К^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

Мы можем использовать предложенные упрощающие предположения, чтобы получить более простое выражение. Когда:

ρ_{Икс, Y} знак равно с о v a р (Икс, Y) / σ_{Икс} σ_{Y} знак равно 1 - ε

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{Икс} знак равно μ_{Y} знак равно 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{Икс}^{2} знак равно σ_{Y}^{2} знак равно σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

Затем:

σ_{Икс}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{Икс} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{Икс, Y} знак равно 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 - (1 - ε)) знак равно 2 σ^{2} ε

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

И поэтому:

Pr (| Икс - Y | \geq К \cdot σ \sqrt{2 ε}) \leq \frac{1}{К^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

Интересно, что этот результат сохраняется, даже если не маленький, и если условие для корреляции изменяется с на , результат не меняется (потому что это уже неравенство). $\epsilon$ $=1-\epsilon$ $\geq 1-\epsilon$

— Pere
источник