«Центральная предельная теорема» для взвешенной суммы коррелированных случайных величин

Я читаю газету, которая утверждает, что

{\hat{Икс}}_{К} знак равно \frac{1}{\sqrt{N}} Σ_{J знак равно 0}^{N - 1} {Икс}_{J} е^{- я 2 π К J / N},

$\hat{X}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}X_je^{-i2\pi kj/N},$ (то есть дискретное преобразование Фурье , DFT) CLT стремится к (комплексной) гауссовской случайной переменной. Тем не менее, я знаю, что это не так в целом. Прочитав этот (ошибочный) аргумент, я искал по сети и нашел эту статью 2010 года от Peligrad & Wu , где они доказывают, что для некоторых стационарных процессов можно найти «теорему CLT».

Мой вопрос: есть ли у вас какие-либо другие ссылки, которые пытаются решить проблему нахождения предельного распределения ДПФ данной индексированной последовательности (как с помощью симуляции, так и теории)? Меня особенно интересует скорость сходимости (то есть как быстро сходится ДПФ), учитывая некоторую ковариационную структуру для в контексте анализа временных рядов или дериваций / приложений для нестационарных рядов. $X_j$

time-series central-limit-theorem fourier-transform

— Нестора
источник

$_j$ $_j$ $_j$

— Майкл Р. Черник
источник

Каковы эти условия? И чем его теорема отличается от статьи, которую я цитирую?

— Нестор

Это, вероятно, очень похоже на результат в статье, которую вы цитируете. Я искал это, потому что это звучало как результат, который я узнал еще в школьные годы. Я не собираюсь рассказывать предположения. Это включает ограничение на функцию автокорреляции для Xj, и λjs не суммируются попарно в кратные 2π.

— Майкл Р. Черник